Номер 307, страница 95 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

307. а) $\sqrt[4]{9^2}$;

б) $\sqrt[4]{25^2}$;

в) $\sqrt[6]{8^2}$;

г) $\sqrt[6]{16^3}$;

д) $\sqrt[6]{27^2}$;

е) $\sqrt[6]{81^3}$;

ж) $\sqrt[200]{49^{100}}$;

з) $\sqrt[300]{125^{100}}$.

а) Чтобы упростить выражение $\sqrt[4]{9^2}$, воспользуемся свойством корня, которое позволяет представить его в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

Применим это свойство: $\sqrt[4]{9^2} = 9^{\frac{2}{4}}$.

Сократим дробь в показателе степени: $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Получаем: $9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$.

Альтернативный способ решения — сначала представить основание степени 9 как $3^2$:

$\sqrt[4]{9^2} = \sqrt[4]{(3^2)^2} = \sqrt[4]{3^{2 \cdot 2}} = \sqrt[4]{3^4}$.

По определению корня n-ой степени, $\sqrt[n]{a^n} = a$ (для $a \ge 0$), поэтому $\sqrt[4]{3^4} = 3$.

Ответ: 3

б) Упростим выражение $\sqrt[4]{25^2}$, используя представление корня в виде степени с дробным показателем $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

$\sqrt[4]{25^2} = 25^{\frac{2}{4}} = 25^{\frac{1}{2}} = \sqrt{25} = 5$.

Также можно сначала представить 25 как $5^2$:

$\sqrt[4]{25^2} = \sqrt[4]{(5^2)^2} = \sqrt[4]{5^4} = 5$.

Ответ: 5

в) Для выражения $\sqrt[6]{8^2}$ применим свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

$\sqrt[6]{8^2} = 8^{\frac{2}{6}} = 8^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{8}$.

Так как $2^3 = 8$, то $\sqrt[3]{8} = 2$.

Другой способ: представим 8 как $2^3$:

$\sqrt[6]{8^2} = \sqrt[6]{(2^3)^2} = \sqrt[6]{2^{3 \cdot 2}} = \sqrt[6]{2^6} = 2$.

Ответ: 2

г) Упростим $\sqrt[6]{16^3}$.

Используя дробные показатели: $\sqrt[6]{16^3} = 16^{\frac{3}{6}} = 16^{\frac{1}{2}} = \sqrt{16} = 4$.

Или, представив 16 как $4^2$ (или $2^4$):

$\sqrt[6]{16^3} = \sqrt[6]{(4^2)^3} = \sqrt[6]{4^{2 \cdot 3}} = \sqrt[6]{4^6} = 4$.

Ответ: 4

д) Решим $\sqrt[6]{27^2}$.

Перейдем к степеням с дробными показателями: $\sqrt[6]{27^2} = 27^{\frac{2}{6}} = 27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27}$.

Так как $3^3 = 27$, то $\sqrt[3]{27} = 3$.

Альтернативно, $27=3^3$:

$\sqrt[6]{27^2} = \sqrt[6]{(3^3)^2} = \sqrt[6]{3^{3 \cdot 2}} = \sqrt[6]{3^6} = 3$.

Ответ: 3

е) Упростим выражение $\sqrt[6]{81^3}$.

С помощью дробных показателей: $\sqrt[6]{81^3} = 81^{\frac{3}{6}} = 81^{\frac{1}{2}} = \sqrt{81} = 9$.

Либо, зная что $81 = 9^2$:

$\sqrt[6]{81^3} = \sqrt[6]{(9^2)^3} = \sqrt[6]{9^{2 \cdot 3}} = \sqrt[6]{9^6} = 9$.

Ответ: 9

ж) Рассмотрим выражение $\sqrt[200]{49^{100}}$.

Здесь удобно использовать свойство $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$, которое позволяет сокращать показатель корня и показатель степени на общий множитель. Общий множитель для 200 и 100 равен 100.

$\sqrt[200]{49^{100}} = \sqrt[2 \cdot 100]{49^{1 \cdot 100}} = \sqrt[2]{49^1} = \sqrt{49} = 7$.

Использование дробных показателей дает тот же результат:

$\sqrt[200]{49^{100}} = 49^{\frac{100}{200}} = 49^{\frac{1}{2}} = \sqrt{49} = 7$.

Ответ: 7

з) Упростим $\sqrt[300]{125^{100}}$.

Сократим показатель корня и показатель степени на их общий делитель 100:

$\sqrt[300]{125^{100}} = \sqrt[3 \cdot 100]{125^{1 \cdot 100}} = \sqrt[3]{125^1} = \sqrt[3]{125}$.

Так как $5^3=125$, то $\sqrt[3]{125} = 5$.

Через дробные показатели:

$\sqrt[300]{125^{100}} = 125^{\frac{100}{300}} = 125^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{125} = 5$.

Ответ: 5