Номер 309, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

309¹. Вынесите множитель из-под знака корня:

а) $\sqrt[3]{80}$;

б) $\sqrt[3]{81}$;

в) $\sqrt[3]{250}$;

г) $\sqrt[3]{-648}$;

д) $\sqrt[5]{a^7b}$;

е) $\sqrt[4]{16c^5d^6}$, если $c > 0, d > 0$;

ж) $\sqrt[4]{5x^4}$, если $x < 0$;

з) $\sqrt[5]{3x^5y}$.

Например: $\sqrt[3]{16x^4y^6} = \sqrt[3]{2^4x^4y^6} = \sqrt[3]{2^3 \cdot x^3 \cdot (y^2)^3 \cdot 2x} = \sqrt[3]{(2xy^2)^3} \times \sqrt[3]{2x} = 2xy^2\sqrt[3]{2x}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака кубического корня, разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них был точным кубом. Число 80 можно представить как произведение $8 \cdot 10$, где $8 = 2^3$.

$\sqrt[3]{80} = \sqrt[3]{8 \cdot 10} = \sqrt[3]{2^3 \cdot 10} = \sqrt[3]{2^3} \cdot \sqrt[3]{10} = 2\sqrt[3]{10}$.

Ответ: $2\sqrt[3]{10}$.

б) Разложим число 81 на множители, выделив множитель, являющийся точным кубом. $81 = 3^4 = 3^3 \cdot 3 = 27 \cdot 3$.

$\sqrt[3]{81} = \sqrt[3]{27 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{3^3} \cdot \sqrt[3]{3} = 3\sqrt[3]{3}$.

Ответ: $3\sqrt[3]{3}$.

в) Разложим число 250 на множители, выделив множитель, являющийся точным кубом. $250 = 125 \cdot 2 = 5^3 \cdot 2$.

$\sqrt[3]{250} = \sqrt[3]{125 \cdot 2} = \sqrt[3]{5^3 \cdot 2} = \sqrt[3]{5^3} \cdot \sqrt[3]{2} = 5\sqrt[3]{2}$.

Ответ: $5\sqrt[3]{2}$.

г) Так как корень нечетной степени (кубический), знак минус можно вынести за знак корня. $\sqrt[3]{-648} = -\sqrt[3]{648}$. Разложим число 648 на простые множители: $648 = 216 \cdot 3 = 6^3 \cdot 3$.

$\sqrt[3]{-648} = \sqrt[3]{-216 \cdot 3} = \sqrt[3]{(-6)^3 \cdot 3} = \sqrt[3]{(-6)^3} \cdot \sqrt[3]{3} = -6\sqrt[3]{3}$.

Ответ: $-6\sqrt[3]{3}$.

д) Представим множитель $a^7$ в виде произведения так, чтобы показатель степени одного из множителей был кратен 5. $a^7 = a^5 \cdot a^2$.

$\sqrt[5]{a^7b} = \sqrt[5]{a^5 \cdot a^2 \cdot b} = \sqrt[5]{a^5} \cdot \sqrt[5]{a^2b} = a\sqrt[5]{a^2b}$.

Ответ: $a\sqrt[5]{a^2b}$.

е) Разложим подкоренное выражение на множители, показатели степеней которых кратны 4. $16 = 2^4$, $c^5 = c^4 \cdot c$, $d^6 = d^4 \cdot d^2$.

$\sqrt[4]{16c^5d^6} = \sqrt[4]{2^4 \cdot c^4 \cdot c \cdot d^4 \cdot d^2} = \sqrt[4]{(2cd)^4 \cdot cd^2}$.

Используя свойство корня из произведения, получаем: $\sqrt[4]{(2cd)^4} \cdot \sqrt[4]{cd^2} = |2cd|\sqrt[4]{cd^2}$.

По условию $c > 0$ и $d > 0$, следовательно, $2cd > 0$, и $|2cd| = 2cd$.

Окончательный результат: $2cd\sqrt[4]{cd^2}$.

Ответ: $2cd\sqrt[4]{cd^2}$.

ж) Применяем свойство корня из произведения: $\sqrt[4]{5x^4} = \sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{x^4}$.

Поскольку корень четной степени (4), то $\sqrt[4]{x^4} = |x|$.

По условию задачи $x < 0$, следовательно, модуль отрицательного числа равен этому числу с противоположным знаком: $|x| = -x$.

Таким образом, $\sqrt[4]{5x^4} = |x|\sqrt[4]{5} = -x\sqrt[4]{5}$.

Ответ: $-x\sqrt[4]{5}$.

з) Показатель корня (5) — нечетное число. Разложим подкоренное выражение на множители: $\sqrt[5]{3x^5y} = \sqrt[5]{x^5 \cdot 3y}$.

Применим свойство корня из произведения: $\sqrt[5]{x^5} \cdot \sqrt[5]{3y}$.

Так как корень нечетной степени, $\sqrt[5]{x^5} = x$.

В результате получаем: $x\sqrt[5]{3y}$.

Ответ: $x\sqrt[5]{3y}$.