Номер 313, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

313. а) $b \sqrt[3]{\frac{a}{b}}$;

б) $c \sqrt[3]{\frac{x^2}{c}}$;

в) $\frac{ay}{b} \sqrt[3]{\frac{b^2x}{a^2y}}$;

г) $\frac{a^2}{b} \sqrt[4]{\frac{b^2x}{a^7}}$, где $b > 0$.

а) Чтобы внести множитель $b$ под знак кубического корня, необходимо возвести его в третью степень. Это преобразование является тождественным при условии, что подкоренное выражение определено ($b \neq 0$).

$b \sqrt[3]{\frac{a}{b}} = \sqrt[3]{b^3 \cdot \frac{a}{b}} = \sqrt[3]{\frac{b^3 a}{b}} = \sqrt[3]{ab^2}$

Ответ: $\sqrt[3]{ab^2}$

б) Внесем множитель $c$ под знак кубического корня, возведя его в третью степень. Предполагается, что $c \neq 0$.

$c \sqrt[3]{\frac{x^2}{c}} = \sqrt[3]{c^3 \cdot \frac{x^2}{c}} = \sqrt[3]{\frac{c^3 x^2}{c}} = \sqrt[3]{c^2 x^2}$

Ответ: $\sqrt[3]{c^2 x^2}$

в) Внесем множитель $\frac{ay}{b}$ под знак кубического корня. Для этого возведем всю дробь в третью степень. Предполагается, что переменные принимают значения, при которых выражение имеет смысл ($a \neq 0, b \neq 0, y \neq 0$).

$\frac{ay}{b} \sqrt[3]{\frac{b^2 x}{a^2 y}} = \sqrt[3]{(\frac{ay}{b})^3 \cdot \frac{b^2 x}{a^2 y}} = \sqrt[3]{\frac{a^3 y^3}{b^3} \cdot \frac{b^2 x}{a^2 y}} = \sqrt[3]{\frac{a^3 y^3 b^2 x}{b^3 a^2 y}}$

Теперь сократим степени переменных в подкоренном выражении:

$\sqrt[3]{\frac{a^{3-2} y^{3-1} x}{b^{3-2}}} = \sqrt[3]{\frac{axy^2}{b}}$

Ответ: $\sqrt[3]{\frac{axy^2}{b}}$

г) Внесем множитель $\frac{a^2}{b}$ под знак корня четвертой степени. Для этого необходимо возвести его в четвертую степень. По условию $b > 0$. Так как $a^2$ всегда неотрицательно ($a^2 \geq 0$), то и весь множитель $\frac{a^2}{b} \geq 0$. Поэтому его можно вносить под корень четной степени без каких-либо дополнительных условий.

$\frac{a^2}{b} \sqrt[4]{\frac{b^2 x}{a^7}} = \sqrt[4]{(\frac{a^2}{b})^4 \cdot \frac{b^2 x}{a^7}} = \sqrt[4]{\frac{(a^2)^4}{b^4} \cdot \frac{b^2 x}{a^7}} = \sqrt[4]{\frac{a^8}{b^4} \cdot \frac{b^2 x}{a^7}} = \sqrt[4]{\frac{a^8 b^2 x}{b^4 a^7}}$

Сократим выражение под корнем. Для существования исходного выражения $a$ не должно быть равно нулю.

$\sqrt[4]{\frac{a^{8-7} x}{b^{4-2}}} = \sqrt[4]{\frac{ax}{b^2}}$

Ответ: $\sqrt[4]{\frac{ax}{b^2}}$