Номер 320, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

320. Упростите числовое выражение:

а) $\sqrt{2\sqrt{3}}$;

б) $\sqrt[3]{3\sqrt{2}}$;

в) $\sqrt[3]{2\sqrt[3]{3}}$;

г) $\sqrt{2\sqrt[4]{4\sqrt{4}}}$;

д) $\sqrt[3]{2\sqrt[3]{2}} : \sqrt[3]{\sqrt[3]{2}}$;

е) $\sqrt[3]{32\sqrt[4]{2}} \cdot \sqrt{2\sqrt[4]{4}}$.

¹Здесь и далее буквами обозначены числа, для которых рассматриваемые выражения имеют смысл.

а)

Для упрощения выражения $\sqrt{2\sqrt{3}}$ внесем множитель 2 под внутренний знак корня. Для этого возведем его в квадрат:

$\sqrt{2\sqrt{3}} = \sqrt{\sqrt{2^2 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt{4 \cdot 3}} = \sqrt{\sqrt{12}}$

Далее воспользуемся свойством корней $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$. В данном случае $m=2$ и $n=2$ (квадратные корни):

$\sqrt{\sqrt{12}} = \sqrt[2 \cdot 2]{12} = \sqrt[4]{12}$

Ответ: $\sqrt[4]{12}$

б)

Чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{3\sqrt{2}}$, внесем множитель 3 под внутренний знак квадратного корня, возведя его в квадрат:

$\sqrt[3]{3\sqrt{2}} = \sqrt[3]{\sqrt{3^2 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt{9 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt{18}}$

Используем свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$, где $m=3$ и $n=2$:

$\sqrt[3]{\sqrt{18}} = \sqrt[3 \cdot 2]{18} = \sqrt[6]{18}$

Ответ: $\sqrt[6]{18}$

в)

Для упрощения $\sqrt[3]{2\sqrt[3]{3}}$ внесем множитель 2 под внутренний кубический корень, возведя его в куб:

$\sqrt[3]{2\sqrt[3]{3}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{2^3 \cdot 3}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{8 \cdot 3}} = \sqrt[3]{\sqrt[3]{24}}$

Применяя свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$ с $m=3$ и $n=3$, получаем:

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{24}} = \sqrt[3 \cdot 3]{24} = \sqrt[9]{24}$

Ответ: $\sqrt[9]{24}$

г)

Упростим выражение $\sqrt{2\sqrt[4]{4\sqrt{4}}}$ пошагово, начиная с самого внутреннего корня:

1. Сначала вычислим $\sqrt{4} = 2$.

Выражение принимает вид: $\sqrt{2\sqrt[4]{4 \cdot 2}} = \sqrt{2\sqrt[4]{8}}$.

2. Теперь внесем множитель 2 под корень четвертой степени, возведя его в четвертую степень:

$\sqrt{2\sqrt[4]{8}} = \sqrt{\sqrt[4]{2^4 \cdot 8}} = \sqrt{\sqrt[4]{16 \cdot 8}} = \sqrt{\sqrt[4]{128}}$.

3. Используем свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$:

$\sqrt{\sqrt[4]{128}} = \sqrt[2 \cdot 4]{128} = \sqrt[8]{128}$.

4. Можно также представить 128 как $2^7$, тогда ответ будет $\sqrt[8]{2^7}$.

Ответ: $\sqrt[8]{128}$

д)

Разобьем задачу на три части: упрощение делимого, упрощение делителя и выполнение деления.

1. Упростим делимое $\sqrt{2\sqrt[3]{2}}$:

$\sqrt{2\sqrt[3]{2}} = \sqrt{\sqrt[3]{2^3 \cdot 2}} = \sqrt{\sqrt[3]{8 \cdot 2}} = \sqrt{\sqrt[3]{16}} = \sqrt[6]{16}$.

2. Упростим делитель $\sqrt[3]{2\sqrt{2}}$:

$\sqrt[3]{2\sqrt{2}} = \sqrt[3]{\sqrt{2^2 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt{4 \cdot 2}} = \sqrt[3]{\sqrt{8}} = \sqrt[6]{8}$.

3. Выполним деление, используя свойство $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$:

$\sqrt[6]{16} : \sqrt[6]{8} = \sqrt[6]{\frac{16}{8}} = \sqrt[6]{2}$.

Ответ: $\sqrt[6]{2}$

е)

Для упрощения произведения $\sqrt[3]{32\sqrt[4]{2}} \cdot \sqrt{2\sqrt[4]{4\sqrt[3]{4}}}$ удобно перейти к степеням с рациональными показателями. Упростим каждый множитель отдельно.

1. Упростим первый множитель $\sqrt[3]{32\sqrt[4]{2}}$. Представим числа в виде степеней двойки: $32 = 2^5$.

$\sqrt[3]{32\sqrt[4]{2}} = (32 \cdot 2^{1/4})^{1/3} = (2^5 \cdot 2^{1/4})^{1/3} = (2^{5 + 1/4})^{1/3} = (2^{21/4})^{1/3} = 2^{\frac{21}{4} \cdot \frac{1}{3}} = 2^{21/12} = 2^{7/4}$.

2. Упростим второй множитель $\sqrt{2\sqrt[4]{4\sqrt[3]{4}}}$. Представим $4$ как $2^2$.

$\sqrt{2\sqrt[4]{4\sqrt[3]{4}}} = (2 \cdot (4 \cdot 4^{1/3})^{1/4})^{1/2} = (2 \cdot (2^2 \cdot (2^2)^{1/3})^{1/4})^{1/2} = (2 \cdot (2^2 \cdot 2^{2/3})^{1/4})^{1/2}$

$= (2 \cdot (2^{2+2/3})^{1/4})^{1/2} = (2 \cdot (2^{8/3})^{1/4})^{1/2} = (2 \cdot 2^{\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{4}})^{1/2} = (2 \cdot 2^{8/12})^{1/2} = (2 \cdot 2^{2/3})^{1/2}$

$= (2^{1+2/3})^{1/2} = (2^{5/3})^{1/2} = 2^{\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}} = 2^{5/6}$.

3. Теперь перемножим полученные результаты:

$2^{7/4} \cdot 2^{5/6} = 2^{7/4 + 5/6}$

Приведем дроби в показателе к общему знаменателю 12:

$\frac{7}{4} + \frac{5}{6} = \frac{7 \cdot 3}{12} + \frac{5 \cdot 2}{12} = \frac{21+10}{12} = \frac{31}{12}$.

Таким образом, выражение равно $2^{31/12}$.

4. Преобразуем результат обратно в вид с корнем, выделив целую часть из показателя степени:

$2^{31/12} = 2^{2 + 7/12} = 2^2 \cdot 2^{7/12} = 4 \cdot \sqrt[12]{2^7} = 4\sqrt[12]{128}$.

Ответ: $4\sqrt[12]{128}$