Номер 322, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Упростите выражение (322—326):

322. а) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[5]{a}$;

б) $\sqrt[4]{b} \cdot \sqrt[3]{b}$;

в) $\sqrt{a} \cdot \sqrt[6]{b}$;

г) $\sqrt[9]{x} \cdot \sqrt[12]{y}$.

а) Чтобы упростить произведение корней с разными показателями, необходимо привести их к общему показателю. Общий показатель будет равен наименьшему общему кратному (НОК) показателей корней. В данном случае показатели корней 3 и 5.
НОК(3, 5) = 15.
Приведем каждый корень к показателю 15, используя свойство $\sqrt[n]{x} = \sqrt[n \cdot k]{x^k}$:
$\sqrt[3]{a} = \sqrt[3 \cdot 5]{a^5} = \sqrt[15]{a^5}$
$\sqrt[5]{a} = \sqrt[5 \cdot 3]{a^3} = \sqrt[15]{a^3}$
Теперь перемножим полученные выражения, используя свойство $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$:
$\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[5]{a} = \sqrt[15]{a^5} \cdot \sqrt[15]{a^3} = \sqrt[15]{a^5 \cdot a^3} = \sqrt[15]{a^{5+3}} = \sqrt[15]{a^8}$
Ответ: $\sqrt[15]{a^8}$

б) Аналогично предыдущему пункту, приведем корни к общему показателю. Показатели корней 4 и 3.
НОК(4, 3) = 12.
Приводим корни к показателю 12:
$\sqrt[4]{b} = \sqrt[4 \cdot 3]{b^3} = \sqrt[12]{b^3}$
$\sqrt[3]{b} = \sqrt[3 \cdot 4]{b^4} = \sqrt[12]{b^4}$
Перемножаем:
$\sqrt[4]{b} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[12]{b^3} \cdot \sqrt[12]{b^4} = \sqrt[12]{b^3 \cdot b^4} = \sqrt[12]{b^{3+4}} = \sqrt[12]{b^7}$
Ответ: $\sqrt[12]{b^7}$

в) В данном выражении подкоренные выражения различны. Чтобы упростить произведение, приведем корни к общему показателю. Показатель первого корня (квадратного) равен 2, а второго — 6.
НОК(2, 6) = 6.
Приводим первый корень к показателю 6 (второй уже имеет этот показатель):
$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a} = \sqrt[2 \cdot 3]{a^3} = \sqrt[6]{a^3}$
Теперь перемножаем корни с одинаковым показателем:
$\sqrt{a} \cdot \sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{a^3} \cdot \sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{a^3 b}$
Ответ: $\sqrt[6]{a^3b}$

г) В этом выражении также разные подкоренные выражения. Приведем корни к общему показателю. Показатели корней 9 и 12.
Найдем НОК(9, 12). Разложим на простые множители: $9 = 3^2$, $12 = 2^2 \cdot 3$.
НОК(9, 12) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
Приводим каждый корень к показателю 36:
$\sqrt[9]{x} = \sqrt[9 \cdot 4]{x^4} = \sqrt[36]{x^4}$
$\sqrt[12]{y} = \sqrt[12 \cdot 3]{y^3} = \sqrt[36]{y^3}$
Перемножаем полученные выражения:
$\sqrt[9]{x} \cdot \sqrt[12]{y} = \sqrt[36]{x^4} \cdot \sqrt[36]{y^3} = \sqrt[36]{x^4 y^3}$
Ответ: $\sqrt[36]{x^4 y^3}$