Номер 325, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

325. a) $\sqrt{a\sqrt[4]{a}}$;

б) $\sqrt[3]{x\sqrt{x}}$;

в) $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}$;

г) $\sqrt[3]{a^3\sqrt[3]{b^3\sqrt[3]{c}}}$.

а) Для упрощения выражения $\sqrt{a\sqrt[4]{a}}$ будем использовать свойства степеней, представив корни в виде степеней с дробными показателями. Предполагается, что $a \ge 0$.
Основное свойство: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.
1. Сначала преобразуем внутренний радикал: $\sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{4}}$.
2. Подставим это в исходное выражение: $\sqrt{a \cdot a^{\frac{1}{4}}}$.
3. Используя свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, упростим выражение под внешним корнем: $a^1 \cdot a^{\frac{1}{4}} = a^{1+\frac{1}{4}} = a^{\frac{5}{4}}$.
4. Теперь выражение выглядит так: $\sqrt{a^{\frac{5}{4}}}$.
5. Преобразуем оставшийся квадратный корень в степень: $(a^{\frac{5}{4}})^{\frac{1}{2}}$.
6. Используя свойство $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, перемножим показатели: $a^{\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{8}}$.
7. Запишем результат снова в виде корня: $a^{\frac{5}{8}} = \sqrt[8]{a^5}$.
Ответ: $\sqrt[8]{a^5}$

б) Упростим выражение $\sqrt[3]{x\sqrt{x}}$. Предполагается, что $x \ge 0$.
1. Преобразуем внутренний квадратный корень в степень: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$.
2. Подставим в исходное выражение: $\sqrt[3]{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$.
3. Упростим произведение под кубическим корнем: $x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{1+\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$.
4. Получаем выражение: $\sqrt[3]{x^{\frac{3}{2}}}$.
5. Преобразуем кубический корень в степень: $(x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}}$.
6. Перемножим показатели степени: $x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = x^{\frac{3}{6}} = x^{\frac{1}{2}}$.
7. Преобразуем результат обратно в корень: $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$.
Ответ: $\sqrt{x}$

в) Упростим выражение $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}$. Будем работать "изнутри наружу". Предполагается, что $x \ge 0$.
1. Начнем с самого внутреннего корня: $\sqrt{x}$.
2. Подставим его в средний корень: $\sqrt{x \cdot \sqrt{x}}$. Чтобы упростить, внесем $x$ под внутренний корень, возведя его в квадрат: $\sqrt{\sqrt{x^2 \cdot x}} = \sqrt{\sqrt{x^3}}$.
3. Используя свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$, получаем: $\sqrt[2 \cdot 2]{x^3} = \sqrt[4]{x^3}$.
4. Теперь исходное выражение выглядит так: $\sqrt{x \cdot \sqrt[4]{x^3}}$.
5. Внесем $x$ под корень четвертой степени, возведя его в четвертую степень: $\sqrt{\sqrt[4]{x^4 \cdot x^3}} = \sqrt{\sqrt[4]{x^7}}$.
6. Снова применяем свойство "корень из корня": $\sqrt[2 \cdot 4]{x^7} = \sqrt[8]{x^7}$.
Ответ: $\sqrt[8]{x^7}$

г) Упростим выражение $\sqrt[3]{a\sqrt[3]{b\sqrt[3]{c}}}$. Будем последовательно вносить множители под знаки следующих корней. Предполагается, что $a, b, c \ge 0$.
1. Начнем со среднего радикала: $\sqrt[3]{b\sqrt[3]{c}}$. Внесем множитель $b$ под знак внутреннего корня, возведя его в степень 3: $\sqrt[3]{\sqrt[3]{b^3 c}}$.
2. По свойству $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[mn]{x}$ объединим корни: $\sqrt[3 \cdot 3]{b^3 c} = \sqrt[9]{b^3 c}$.
3. Теперь исходное выражение можно записать как: $\sqrt[3]{a \cdot \sqrt[9]{b^3 c}}$.
4. Внесем множитель $a$ под знак корня 9-й степени, возведя его в степень 9: $\sqrt[3]{\sqrt[9]{a^9 \cdot b^3 c}}$.
5. Снова объединим корни: $\sqrt[3 \cdot 9]{a^9 b^3 c} = \sqrt[27]{a^9 b^3 c}$.
Ответ: $\sqrt[27]{a^9 b^3 c}$