Номер 331, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Постройте график функции (331–332):

331. а) $x = 2y;$

б) $x = -5y;$

в) $x = y^2;$

г) $x = y^3;$

д) $x = 2y - 4;$

для $y \ge 0.$

е) $x = y + 5;$

ж) $x = 2y^2;$

з) $x = 5y^3$

а)

Данное уравнение $x = 2y$ является линейным. Графиком линейной функции является прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых ее точек. Обычно в качестве независимой переменной выступает $x$, а зависимой $y$, но можно и наоборот. Зададим значения для $y$ и вычислим соответствующие значения $x$.

1. Пусть $y = 0$, тогда $x = 2 \cdot 0 = 0$. Получаем точку с координатами $(0, 0)$.
2. Пусть $y = 1$, тогда $x = 2 \cdot 1 = 2$. Получаем точку с координатами $(2, 1)$.
Проведя прямую через эти две точки, получим искомый график. Эта прямая проходит через начало координат. Также можно выразить $y$ через $x$: $y = \frac{1}{2}x$.

Ответ: Графиком функции $x=2y$ является прямая, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(2, 1)$.

б)

Уравнение $x = -5y$ является линейным, его график – прямая линия. Найдем две точки для ее построения.

1. Если $y = 0$, то $x = -5 \cdot 0 = 0$. Получаем точку $(0, 0)$.
2. Если $y = 1$, то $x = -5 \cdot 1 = -5$. Получаем точку $(-5, 1)$.
Проведем прямую через точки $(0, 0)$ и $(-5, 1)$. Эта прямая также проходит через начало координат. Выразив $y$ через $x$, получим $y = -\frac{1}{5}x$.

Ответ: Графиком функции $x=-5y$ является прямая, проходящая через точки $(0, 0)$ и $(-5, 1)$.

в)

Уравнение $x = y^2$ задает параболу. В отличие от стандартной параболы $y = x^2$, у которой ветви направлены вверх, у параболы $x = y^2$ ветви направлены вправо. Это связано с тем, что $x$ равен квадрату $y$, а значит $x \ge 0$ для любых действительных значений $y$. Осью симметрии этой параболы является ось $Ox$.

Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$, так как при $y=0$, $x=0$.
Найдем еще несколько точек, задавая значения $y$:
- при $y=1$, $x=1^2=1$, точка $(1, 1)$;
- при $y=-1$, $x=(-1)^2=1$, точка $(1, -1)$;
- при $y=2$, $x=2^2=4$, точка $(4, 2)$;
- при $y=-2$, $x=(-2)^2=4$, точка $(4, -2)$.
Соединив эти точки плавной линией, получим график параболы.

Ответ: Графиком функции $x=y^2$ является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$ и ветвями, направленными вправо, проходящая через точки $(1, 1)$ и $(4, 2)$.

г)

Уравнение $x = y^3$ задает кубическую параболу. Этот график симметричен относительно начала координат. Он аналогичен графику функции $y=x^3$, но отражен относительно прямой $y=x$.

Найдем несколько точек для построения графика, задавая значения $y$:
- при $y=0$, $x=0^3=0$, точка $(0, 0)$;
- при $y=1$, $x=1^3=1$, точка $(1, 1)$;
- при $y=-1$, $x=(-1)^3=-1$, точка $(-1, -1)$;
- при $y=2$, $x=2^3=8$, точка $(8, 2)$;
- при $y=-2$, $x=(-2)^3=-8$, точка $(-8, -2)$.
График проходит через начало координат, расположен в I и III координатных четвертях.

Ответ: Графиком функции $x=y^3$ является кубическая парабола, симметричная относительно начала координат и проходящая через точки $(0, 0)$, $(1, 1)$ и $(8, 2)$.

д)

Уравнение $x = 2y - 4$ является линейным, но с ограничением $y \ge 0$. Это означает, что график будет не всей прямой, а только ее частью — лучом.

Найдем начальную точку луча. Она соответствует минимально возможному значению $y$, то есть $y=0$.
При $y=0$, $x = 2 \cdot 0 - 4 = -4$. Начальная точка луча – $(-4, 0)$.
Для построения луча найдем еще одну точку, удовлетворяющую условию $y > 0$. Возьмем, например, $y=2$.
При $y=2$, $x = 2 \cdot 2 - 4 = 0$. Вторая точка – $(0, 2)$.
График представляет собой луч, выходящий из точки $(-4, 0)$ и проходящий через точку $(0, 2)$.

Ответ: Графиком функции $x=2y-4$ для $y \ge 0$ является луч с началом в точке $(-4, 0)$, проходящий через точку $(0, 2)$.

е)

Уравнение $x = y + 5$ является линейным. Его график — прямая. Найдем две точки для ее построения. Удобно найти точки пересечения с осями координат.

1. Точка пересечения с осью $Ox$ (при $y=0$): $x = 0 + 5 = 5$. Точка $(5, 0)$.
2. Точка пересечения с осью $Oy$ (при $x=0$): $0 = y + 5$, откуда $y = -5$. Точка $(0, -5)$.
Проведем прямую через точки $(5, 0)$ и $(0, -5)$.

Ответ: Графиком функции $x=y+5$ является прямая, проходящая через точки $(5, 0)$ и $(0, -5)$.

ж)

Уравнение $x = 2y^2$ задает параболу. Как и в случае $x = y^2$, ее ветви направлены вправо (так как $2y^2 \ge 0$, то $x \ge 0$), а осью симметрии является ось $Ox$. Вершина находится в точке $(0, 0)$. Коэффициент 2 "растягивает" параболу вдоль оси $Ox$ в 2 раза по сравнению с графиком $x=y^2$.

Найдем несколько точек, задавая значения $y$:
- при $y=0$, $x=2 \cdot 0^2 = 0$, вершина $(0, 0)$;
- при $y=1$, $x=2 \cdot 1^2=2$, точка $(2, 1)$;
- при $y=-1$, $x=2 \cdot (-1)^2=2$, точка $(2, -1)$;
- при $y=2$, $x=2 \cdot 2^2=8$, точка $(8, 2)$.
Соединив точки, получим параболу.

Ответ: Графиком функции $x=2y^2$ является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветвями, направленными вправо, и проходящая через точки $(2, 1)$ и $(8, 2)$.

з)

Уравнение $x = 5y^3$ задает кубическую параболу, симметричную относительно начала координат. График похож на $x=y^3$, но растянут в 5 раз вдоль оси $Ox$.

Найдем несколько точек для построения, задавая значения $y$:
- при $y=0$, $x=5 \cdot 0^3=0$, точка $(0, 0)$;
- при $y=1$, $x=5 \cdot 1^3=5$, точка $(5, 1)$;
- при $y=-1$, $x=5 \cdot (-1)^3=-5$, точка $(-5, -1)$.
График проходит через начало координат, точки $(5, 1)$ и $(-5, -1)$.

Ответ: Графиком функции $x=5y^3$ является кубическая парабола, симметричная относительно начала координат и проходящая через точки $(0, 0)$, $(5, 1)$ и $(-5, -1)$.