Номер 336, страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

336. Используя график функции $y=\sqrt[3]{x}$, покажите, что:

а) $\sqrt[3]{10} > \sqrt[3]{5}$;

б) $\sqrt[3]{7} > \sqrt[3]{4}$;

в) $\sqrt[3]{0,5} > \sqrt[3]{0,2}$;

г) $\sqrt[3]{0,9} > \sqrt[3]{0,4}.$

Для решения данной задачи необходимо использовать свойство функции $y = \sqrt[3]{x}$. График этой функции показывает, что она является строго возрастающей на всей своей области определения, то есть для любого $x$ из множества действительных чисел. Свойство возрастающей функции заключается в том, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Иными словами, если взять два числа $x_1$ и $x_2$ такие, что $x_2 > x_1$, то будет выполняться неравенство $f(x_2) > f(x_1)$, то есть $\sqrt[3]{x_2} > \sqrt[3]{x_1}$.

Мы применим это свойство для сравнения чисел в каждом из подпунктов.

а) Требуется сравнить $\sqrt[3]{10}$ и $\sqrt[3]{5}$. Эти выражения являются значениями функции $y = \sqrt[3]{x}$ в точках $x=10$ и $x=5$. Сравним аргументы (подкоренные выражения): $10$ и $5$. Так как $10 > 5$, а функция $y=\sqrt[3]{x}$ возрастающая, то и значение функции в точке $10$ будет больше значения в точке $5$. Следовательно, $\sqrt[3]{10} > \sqrt[3]{5}$.
Ответ: Неравенство верно, так как функция $y = \sqrt[3]{x}$ возрастающая, а $10 > 5$.

б) Сравним $\sqrt[3]{7}$ и $\sqrt[3]{4}$. Это значения функции $y = \sqrt[3]{x}$ для $x=7$ и $x=4$. Сравниваем подкоренные выражения: $7 > 4$. Поскольку функция кубического корня является возрастающей, то из этого следует, что $\sqrt[3]{7} > \sqrt[3]{4}$.
Ответ: Неравенство верно, так как функция $y = \sqrt[3]{x}$ возрастающая, а $7 > 4$.

в) Сравним $\sqrt[3]{0,5}$ и $\sqrt[3]{0,2}$. Это значения функции $y = \sqrt[3]{x}$ при $x=0,5$ и $x=0,2$. Сравниваем аргументы: $0,5 > 0,2$. Так как функция $y = \sqrt[3]{x}$ является возрастающей, то $\sqrt[3]{0,5} > \sqrt[3]{0,2}$.
Ответ: Неравенство верно, так как функция $y = \sqrt[3]{x}$ возрастающая, а $0,5 > 0,2$.

г) Сравним $\sqrt[3]{0,9}$ и $\sqrt[3]{0,4}$. Это значения функции $y = \sqrt[3]{x}$ при $x=0,9$ и $x=0,4$. Сравниваем подкоренные выражения: $0,9 > 0,4$. В силу того, что функция $y = \sqrt[3]{x}$ возрастает на всей области определения, получаем, что $\sqrt[3]{0,9} > \sqrt[3]{0,4}$.
Ответ: Неравенство верно, так как функция $y = \sqrt[3]{x}$ возрастающая, а $0,9 > 0,4$.