Номер 343, страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

343. Найдите область определения функции:

а) $y = \sqrt{3x}$;

б) $y = \sqrt[3]{-5x}$;

в) $y = \sqrt[4]{2x-1}$;

г) $y = \sqrt[5]{4-5x}$.

а) Дана функция $y = \sqrt{3x}$.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Так как функция содержит корень четной степени (квадратный корень, показатель степени 2), то подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:

$3x \ge 0$

Разделим обе части неравенства на положительное число 3, знак неравенства при этом не меняется:

$x \ge 0$

Таким образом, область определения данной функции — это все действительные числа, большие или равные нулю.

Ответ: $[0, +\infty)$.

б) Дана функция $y = \sqrt[3]{-5x}$.

Функция содержит корень нечетной степени (кубический корень, показатель степени 3). Корень нечетной степени определен для любого действительного числа, поэтому подкоренное выражение может быть как положительным, так и отрицательным, и равным нулю.

Никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается, так как выражение $-5x$ определено для любого действительного значения $x$.

Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty, +\infty)$.

в) Дана функция $y = \sqrt[4]{2x - 1}$.

Функция содержит корень четной степени (показатель степени 4). Аналогично пункту а), подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:

$2x - 1 \ge 0$

Перенесем -1 в правую часть, изменив знак:

$2x \ge 1$

Разделим обе части на 2:

$x \ge \frac{1}{2}$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, большие или равные $\frac{1}{2}$.

Ответ: $[\frac{1}{2}, +\infty)$.

г) Дана функция $y = \sqrt[5]{4 - 5x}$.

Функция содержит корень нечетной степени (показатель степени 5). Корень нечетной степени определен для любого действительного подкоренного выражения.

Выражение $4 - 5x$ определено для любого действительного значения $x$, поэтому никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается.

Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty, +\infty)$.