Номер 347, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

347. Если натуральное число N не есть куб натурального числа, то

является ли число $\sqrt[3]{N}$ иррациональным?

Да, если натуральное число $N$ не является кубом натурального числа, то число $\sqrt[3]{N}$ всегда является иррациональным.

Докажем это утверждение методом от противного.

Предположим, что число $\sqrt[3]{N}$ является рациональным. По определению, любое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — натуральные числа ($p, q \in \mathbb{N}$), и их наибольший общий делитель равен 1 (НОД$(p, q) = 1$).

Итак, пусть $\sqrt[3]{N} = \frac{p}{q}$.

Возведем обе части этого равенства в третью степень:

$(\sqrt[3]{N})^3 = (\frac{p}{q})^3$

$N = \frac{p^3}{q^3}$

Умножим обе части на $q^3$, чтобы избавиться от знаменателя:

$N \cdot q^3 = p^3$

Теперь рассмотрим два возможных случая для знаменателя $q$.

1. Если $q = 1$.
Тогда наше равенство $\sqrt[3]{N} = \frac{p}{q}$ превращается в $\sqrt[3]{N} = p$. Возведя в куб, получаем $N = p^3$. Поскольку $p$ — натуральное число, это означает, что $N$ является кубом натурального числа. Однако это прямо противоречит условию задачи, согласно которому $N$ не является кубом натурального числа. Следовательно, этот случай невозможен.

2. Если $q > 1$.
Поскольку $q$ — натуральное число большее единицы, оно имеет хотя бы один простой делитель. Назовем его $d$. Из равенства $N \cdot q^3 = p^3$ следует, что $p^3$ делится на $q$ (и на $q^3$). Так как $q$ делится на свой простой делитель $d$, то и $p^3$ должно делиться на $d$.
Согласно основной теореме арифметики, если куб целого числа $p^3$ делится на простое число $d$, то и само число $p$ должно делиться на $d$.
Таким образом, мы выяснили, что и числитель $p$, и знаменатель $q$ имеют общий делитель $d > 1$. Это означает, что дробь $\frac{p}{q}$ является сократимой. Но это противоречит нашему первоначальному предположению, что дробь $\frac{p}{q}$ — несократимая.

Оба случая приводят к противоречию. Это означает, что наше первоначальное предположение о том, что $\sqrt[3]{N}$ является рациональным числом, было неверным. Следовательно, число $\sqrt[3]{N}$ должно быть иррациональным.

Ответ: Да, является.