Номер 341, страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

341. Сравните с единицей положительное число a, если:

a) $\sqrt[3]{a} > \sqrt[4]{a}$;

б) $\sqrt[3]{a} < \sqrt[4]{a}$;

в) $\sqrt[5]{a} > \sqrt[4]{a}$;

г) $\sqrt[6]{a} < \sqrt[5]{a}$.

Для решения этой задачи мы будем преобразовывать данные неравенства. По условию, число $a$ положительное ($a > 0$), поэтому при возведении обеих частей неравенства в натуральную степень знак неравенства не меняется. Также, поскольку в неравенствах используются строгие знаки ($>$ или <), то $a \ne 1$.

а) Дано неравенство $\sqrt[3]{a} > \sqrt[4]{a}$.

Чтобы избавиться от корней, возведем обе части неравенства в степень, равную наименьшему общему кратному (НОК) показателей корней 3 и 4. НОК(3, 4) = 12.

Возводим обе части в 12-ю степень:

$(\sqrt[3]{a})^{12} > (\sqrt[4]{a})^{12}$

Используя свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$ и определение корня $\sqrt[k]{x} = x^{1/k}$, получаем:

$(a^{1/3})^{12} > (a^{1/4})^{12}$

$a^{12/3} > a^{12/4}$

$a^4 > a^3$

Поскольку $a > 0$, то и $a^3 > 0$. Разделим обе части неравенства на $a^3$:

$\frac{a^4}{a^3} > \frac{a^3}{a^3}$

$a > 1$

Следовательно, число $a$ больше единицы.

Ответ: $a > 1$.

б) Дано неравенство $\sqrt[3]{a} < \sqrt[4]{a}$.

Аналогично пункту а), возведем обе части неравенства в 12-ю степень (НОК(3, 4) = 12).

$(\sqrt[3]{a})^{12} < (\sqrt[4]{a})^{12}$

$a^{12/3} < a^{12/4}$

$a^4 < a^3$

Разделим обе части неравенства на $a^3$ (так как $a > 0$, $a^3 > 0$, знак неравенства сохраняется):

$\frac{a^4}{a^3} < \frac{a^3}{a^3}$

$a < 1$

Учитывая, что по условию $a$ - положительное число, получаем, что число $a$ меньше единицы.

Ответ: $0 < a < 1$.

в) Дано неравенство $\sqrt[5]{a} > \sqrt[4]{a}$.

Найдем НОК показателей корней 5 и 4. НОК(5, 4) = 20.

Возводим обе части неравенства в 20-ю степень:

$(\sqrt[5]{a})^{20} > (\sqrt[4]{a})^{20}$

$a^{20/5} > a^{20/4}$

$a^4 > a^5$

Разделим обе части неравенства на $a^4$ (так как $a > 0$, $a^4 > 0$, знак неравенства сохраняется):

$\frac{a^4}{a^4} > \frac{a^5}{a^4}$

$1 > a$

С учетом условия $a > 0$, получаем, что число $a$ меньше единицы.

Ответ: $0 < a < 1$.

г) Дано неравенство $\sqrt[6]{a} < \sqrt[5]{a}$.

Найдем НОК показателей корней 6 и 5. НОК(6, 5) = 30.

Возводим обе части неравенства в 30-ю степень:

$(\sqrt[6]{a})^{30} < (\sqrt[5]{a})^{30}$

$a^{30/6} < a^{30/5}$

$a^5 < a^6$

Разделим обе части неравенства на $a^5$ (так как $a > 0$, $a^5 > 0$, знак неравенства сохраняется):

$\frac{a^5}{a^5} < \frac{a^6}{a^5}$

$1 < a$

Следовательно, число $a$ больше единицы.

Ответ: $a > 1$.