Номер 334, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

334. Известно, что:

а) $\sqrt[3]{a} > 1$;

б) $\sqrt[3]{a} < 1$.

Верно ли, что $a$ больше единицы? больше нуля?

Для решения данной задачи мы будем использовать свойство функции $y=x^3$. Эта функция является монотонно возрастающей на всей числовой оси. Это означает, что для любых чисел $x_1$ и $x_2$, если $x_1 > x_2$, то $x_1^3 > x_2^3$, и наоборот. Таким образом, мы можем возводить обе части неравенства в третью степень, сохраняя при этом знак неравенства.

а) Рассмотрим неравенство $\sqrt[3]{a} > 1$.

Возведем обе части этого неравенства в третью степень:

$(\sqrt[3]{a})^3 > 1^3$

В результате получаем:

$a > 1$

Теперь ответим на поставленные вопросы:

• Верно ли, что $a$ больше единицы? Да, это утверждение верно, так как мы получили, что $a > 1$.
• Верно ли, что $a$ больше нуля? Да, это утверждение также верно. Если число больше единицы, оно автоматически больше и нуля.

Ответ: Да, верно, что $a$ больше единицы. Да, верно, что $a$ больше нуля.

б) Рассмотрим неравенство $\sqrt[3]{a} < 1$.

Аналогично пункту а), возведем обе части неравенства в третью степень:

$(\sqrt[3]{a})^3 < 1^3$

В результате получаем:

$a < 1$

Теперь ответим на поставленные вопросы:

• Верно ли, что $a$ больше единицы? Нет, это утверждение неверно. Мы получили, что $a < 1$, что противоречит утверждению $a > 1$.
• Верно ли, что $a$ больше нуля? Нет, это утверждение неверно. Условию $a < 1$ удовлетворяют как положительные числа (например, $a=0.125$, тогда $\sqrt[3]{0.125} = 0.5 < 1$), так и ноль ($a=0$), и отрицательные числа. Например, если $a = -8$, то $\sqrt[3]{-8} = -2 < 1$, но при этом $a$ не больше нуля. Следовательно, утверждать, что $a$ обязательно больше нуля, нельзя.

Ответ: Нет, неверно, что $a$ больше единицы. Нет, неверно, что $a$ больше нуля.