Номер 338, страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

338. Сравните числа:

а) $2$ и $\sqrt[3]{7}$;

б) $\sqrt[4]{12}$ и $2$;

в) $\sqrt[3]{3}$ и $1,5$;

г) $\sqrt[4]{75}$ и $3$.

а) Чтобы сравнить числа 2 и $\sqrt[3]{7}$, необходимо привести их к одному виду. Для этого возведем оба числа в третью степень. Поскольку функция $y=x^3$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси, то знак неравенства между результатами будет таким же, как и между исходными числами.
Возводим первое число в куб: $2^3 = 8$.
Возводим второе число в куб: $(\sqrt[3]{7})^3 = 7$.
Теперь сравним полученные результаты: $8 > 7$.
Следовательно, исходное неравенство будет таким же: $2 > \sqrt[3]{7}$.
Ответ: $2 > \sqrt[3]{7}$.

б) Чтобы сравнить числа $\sqrt[4]{12}$ и 2, возведем оба числа в четвертую степень. Функция $y=x^4$ для положительных чисел ($x>0$) является возрастающей, поэтому знак неравенства сохранится.
Возводим первое число в четвертую степень: $(\sqrt[4]{12})^4 = 12$.
Возводим второе число в четвертую степень: $2^4 = 16$.
Сравниваем результаты: $12 < 16$.
Значит, и $\sqrt[4]{12} < 2$.
Ответ: $\sqrt[4]{12} < 2$.

в) Сравним числа $\sqrt[3]{3}$ и 1,5. Для этого возведем оба числа в третью степень.
Возводим первое число в куб: $(\sqrt[3]{3})^3 = 3$.
Возводим второе число в куб. Удобнее представить 1,5 в виде обыкновенной дроби: $1,5 = \frac{3}{2}$.
$(1,5)^3 = (\frac{3}{2})^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$.
Теперь сравним полученные числа: 3 и $\frac{27}{8}$. Представим 3 в виде дроби со знаменателем 8: $3 = \frac{24}{8}$.
Сравниваем дроби: $\frac{24}{8} < \frac{27}{8}$.
Так как $3 < \frac{27}{8}$, то и $\sqrt[3]{3} < 1,5$.
Ответ: $\sqrt[3]{3} < 1,5$.

г) Для сравнения чисел $\sqrt[4]{75}$ и 3, возведем оба числа в четвертую степень.
Возводим первое число в четвертую степень: $(\sqrt[4]{75})^4 = 75$.
Возводим второе число в четвертую степень: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.
Сравниваем полученные значения: $75 < 81$.
Следовательно, $\sqrt[4]{75} < 3$.
Ответ: $\sqrt[4]{75} < 3$.