Номер 335, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

335. Постройте график функции $y = \sqrt[4]{x}$. С помощью графика найдите:

а) при каких $x$ справедливо неравенство $\sqrt[4]{x} > 1$;

б) при каких $x$ справедливо неравенство $\sqrt[4]{x} < 1$.

Сначала построим график функции $y = \sqrt[4]{x}$.

1. Область определения и область значений.
Функция определена для всех неотрицательных значений аргумента, так как корень четной степени извлекается только из неотрицательных чисел. Таким образом, область определения: $x \ge 0$.Поскольку корень четной степени из неотрицательного числа всегда неотрицателен, область значений функции: $y \ge 0$.Весь график будет расположен в первой координатной четверти.

2. Ключевые точки.
Для построения графика найдем несколько точек, принадлежащих ему. Удобнее подбирать значения $x$, которые являются четвертыми степенями целых чисел, чтобы легко вычислять $y$.

3. Построение графика.
Отметим точки (0, 0), (1, 1), (16, 2) на координатной плоскости. Соединим их плавной линией. Полученный график является возрастающей функцией, которая начинается в начале координат и идет вправо и вверх, постепенно становясь все более пологой.

Теперь с помощью построенного графика решим неравенства. Для этого мысленно или реально проведем на том же чертеже горизонтальную прямую $y=1$.

а) Нам нужно найти значения $x$, для которых справедливо неравенство $\sqrt[4]{x} > 1$. Это соответствует той части графика функции $y = \sqrt[4]{x}$, которая расположена выше прямой $y = 1$.
Сначала найдем точку пересечения графиков $y = \sqrt[4]{x}$ и $y = 1$:$$ \sqrt[4]{x} = 1 $$Возведя обе части в четвертую степень, получим:$$ (\sqrt[4]{x})^4 = 1^4 $$$$ x = 1 $$Точка пересечения — (1, 1).
Поскольку функция $y = \sqrt[4]{x}$ возрастающая, ее значения будут больше 1 при значениях аргумента $x$, больших абсциссы точки пересечения. Следовательно, график функции лежит выше прямой $y=1$ при $x > 1$.
Ответ: $x > 1$.

б) Нам нужно найти значения $x$, для которых справедливо неравенство $\sqrt[4]{x} < 1$. Это соответствует той части графика функции $y = \sqrt[4]{x}$, которая расположена ниже прямой $y = 1$.
Используя ту же точку пересечения (1, 1), мы видим, что график функции лежит ниже прямой $y=1$ для тех значений $x$, которые меньше абсциссы точки пересечения, то есть при $x < 1$. Однако мы должны учесть область определения функции, которая требует, чтобы $x \ge 0$. Объединяя эти два условия, получаем, что неравенство справедливо при $0 \le x < 1$.
Ответ: $0 \le x < 1$.