Номер 337, страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

337. Доказываем. Докажите неравенство:

a) $ \sqrt[3]{10} > 2; $

б) $ 3 < \sqrt[4]{100}; $

в) $ \sqrt{7} > \sqrt[4]{16}; $

г) $ \sqrt[4]{81} < \sqrt{10}; $

д) $ \sqrt[3]{3} > \sqrt[4]{4}; $

е) $ \sqrt[4]{3} < \sqrt[3]{4}; $

ж) $ \sqrt[5]{2} < \sqrt{5}; $

з) $ \sqrt{7} > \sqrt[4]{20}. $

а) Чтобы доказать неравенство $\sqrt[3]{10} > 2$, возведем обе его части в 3-ю степень. Так как функция $y=x^3$ является возрастающей для всех действительных чисел, знак неравенства сохранится.

Левая часть: $(\sqrt[3]{10})^3 = 10$.

Правая часть: $2^3 = 8$.

Поскольку $10 > 8$, то и исходное неравенство $\sqrt[3]{10} > 2$ является верным.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Чтобы доказать неравенство $3 < \sqrt[4]{100}$, возведем обе части в 4-ю степень. Обе части неравенства положительны, а функция $y=x^4$ для положительных чисел является возрастающей, поэтому знак неравенства сохранится.

Левая часть: $3^4 = 81$.

Правая часть: $(\sqrt[4]{100})^4 = 100$.

Поскольку $81 < 100$, то и исходное неравенство $3 < \sqrt[4]{100}$ является верным.

Ответ: Неравенство доказано.

в) Сначала упростим правую часть неравенства $\sqrt{7} > \sqrt[4]{16}$.

$\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.

Неравенство принимает вид $\sqrt{7} > 2$. Теперь возведем обе части в квадрат. Так как обе части положительны, знак неравенства сохранится.

Левая часть: $(\sqrt{7})^2 = 7$.

Правая часть: $2^2 = 4$.

Поскольку $7 > 4$, исходное неравенство $\sqrt{7} > \sqrt[4]{16}$ является верным.

Ответ: Неравенство доказано.

г) Сначала упростим левую часть неравенства $\sqrt[4]{81} < \sqrt{10}$.

$\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.

Неравенство принимает вид $3 < \sqrt{10}$. Возведем обе части в квадрат.

Левая часть: $3^2 = 9$.

Правая часть: $(\sqrt{10})^2 = 10$.

Поскольку $9 < 10$, исходное неравенство $\sqrt[4]{81} < \sqrt{10}$ является верным.

Ответ: Неравенство доказано.

д) Для доказательства неравенства $\sqrt[3]{3} > \sqrt[4]{4}$ приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное показателей корней 3 и 4 равно 12. Поэтому возведем обе части неравенства в 12-ю степень.

Левая часть: $(\sqrt[3]{3})^{12} = 3^{\frac{12}{3}} = 3^4 = 81$.

Правая часть: $(\sqrt[4]{4})^{12} = 4^{\frac{12}{4}} = 4^3 = 64$.

Поскольку $81 > 64$, исходное неравенство $\sqrt[3]{3} > \sqrt[4]{4}$ является верным.

Ответ: Неравенство доказано.

е) Для доказательства неравенства $\sqrt[4]{3} < \sqrt[3]{4}$ приведем корни к общему показателю 12 (наименьшее общее кратное 4 и 3). Возведем обе части неравенства в 12-ю степень.

Левая часть: $(\sqrt[4]{3})^{12} = 3^{\frac{12}{4}} = 3^3 = 27$.

Правая часть: $(\sqrt[3]{4})^{12} = 4^{\frac{12}{3}} = 4^4 = 256$.

Поскольку $27 < 256$, исходное неравенство $\sqrt[4]{3} < \sqrt[3]{4}$ является верным.

Ответ: Неравенство доказано.

ж) Чтобы доказать неравенство $\sqrt[5]{2} < \sqrt{5}$, приведем корни к общему показателю 10 (наименьшее общее кратное 5 и 2). Возведем обе части в 10-ю степень.

Левая часть: $(\sqrt[5]{2})^{10} = 2^{\frac{10}{5}} = 2^2 = 4$.

Правая часть: $(\sqrt{5})^{10} = 5^{\frac{10}{2}} = 5^5 = 3125$.

Поскольку $4 < 3125$, исходное неравенство $\sqrt[5]{2} < \sqrt{5}$ является верным.

Ответ: Неравенство доказано.

з) Чтобы доказать неравенство $\sqrt{7} > \sqrt[4]{20}$, приведем оба выражения к корню 4-й степени. Для этого представим $\sqrt{7}$ как корень 4-й степени.

$\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}} = 7^{\frac{2}{4}} = \sqrt[4]{7^2} = \sqrt[4]{49}$.

Теперь неравенство можно записать как $\sqrt[4]{49} > \sqrt[4]{20}$.

Так как функция $y=\sqrt[4]{x}$ является возрастающей, и подкоренное выражение слева больше подкоренного выражения справа ($49 > 20$), то неравенство является верным.

Ответ: Неравенство доказано.