Номер 340, страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

340. Сравните натуральные числа m ($m \ge 2$) и n ($n \ge 2$), если:

а) $\sqrt[m]{5} > \sqrt[n]{5}$;

б) $\sqrt[m]{8} < \sqrt[n]{8}$;

в) $\sqrt[m]{0,2} > \sqrt[n]{0,2}$;

г) $\sqrt[m]{0,3} < \sqrt[n]{0,3}$.

Для решения данной задачи мы будем использовать свойства показательных функций и степеней. Основная идея заключается в том, чтобы привести неравенства к виду, где сравниваются показатели степеней.

а)

Дано неравенство $\sqrt[m]{5} > \sqrt[n]{5}$.

Поскольку $m$ и $n$ — натуральные числа, большие или равные 2, мы можем возвести обе части неравенства в степень $mn$, которая является положительным числом. Знак неравенства при этом не изменится.

$(\sqrt[m]{5})^{mn} > (\sqrt[n]{5})^{mn}$

Используя свойство степени $(a^b)^c = a^{bc}$, а также представление корня в виде степени $\sqrt[k]{a} = a^{1/k}$, получаем:

$(5^{1/m})^{mn} > (5^{1/n})^{mn}$

$5^{n} > 5^{m}$

Рассмотрим показательную функцию $y = 5^x$. Так как основание $5 > 1$, функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Следовательно, из неравенства $5^n > 5^m$ следует, что $n > m$.

Ответ: $m < n$.

б)

Дано неравенство $\sqrt[m]{8} < \sqrt[n]{8}$.

Возведем обе части неравенства в положительную степень $mn$:

$(\sqrt[m]{8})^{mn} < (\sqrt[n]{8})^{mn}$

$(8^{1/m})^{mn} < (8^{1/n})^{mn}$

$8^{n} < 8^{m}$

Поскольку основание $8 > 1$, показательная функция $y = 8^x$ является возрастающей. Следовательно, из $8^n < 8^m$ следует, что $n < m$.

Ответ: $m > n$.

в)

Дано неравенство $\sqrt[m]{0,2} > \sqrt[n]{0,2}$.

Возведем обе части неравенства в положительную степень $mn$:

$(\sqrt[m]{0,2})^{mn} > (\sqrt[n]{0,2})^{mn}$

$(0,2^{1/m})^{mn} > (0,2^{1/n})^{mn}$

$0,2^{n} > 0,2^{m}$

Рассмотрим показательную функцию $y = 0,2^x$. Так как основание $0 < 0,2 < 1$, функция является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента (знак неравенства для аргументов меняется на противоположный). Следовательно, из $0,2^n > 0,2^m$ следует, что $n < m$.

Ответ: $m > n$.

г)

Дано неравенство $\sqrt[m]{0,3} < \sqrt[n]{0,3}$.

Возведем обе части неравенства в положительную степень $mn$:

$(\sqrt[m]{0,3})^{mn} < (\sqrt[n]{0,3})^{mn}$

$(0,3^{1/m})^{mn} < (0,3^{1/n})^{mn}$

$0,3^{n} < 0,3^{m}$

Поскольку основание $0 < 0,3 < 1$, показательная функция $y = 0,3^x$ является убывающей. Следовательно, знак неравенства для аргументов меняется на противоположный, и из $0,3^n < 0,3^m$ следует, что $n > m$.

Ответ: $m < n$.