Номер 346, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

346. Что значит вычислить с точностью до третьего знака после запятой (с недостатком) $\sqrt[3]{N}$, где $N$ — простое число?

Фраза "вычислить с точностью до третьего знака после запятой (с недостатком) $\sqrt[3]{N}$, где $N$ — простое число" описывает процесс нахождения приближенного значения иррационального числа. Поскольку $N$ — простое число, оно не может быть кубом целого числа, а значит, $\sqrt[3]{N}$ является иррациональным числом (его десятичное представление бесконечно и непериодично).

Вычисление такого значения означает нахождение десятичной дроби $a$, которая удовлетворяет следующим условиям:

1. Точность до третьего знака: Искомое число $a$ должно быть десятичной дробью с ровно тремя знаками после запятой. То есть оно должно иметь вид $c,d_1d_2d_3$, где $c$ — целая часть, а $d_1, d_2, d_3$ — цифры от 0 до 9. Погрешность такого приближения не должна превышать $0.001$.
2. Приближение с недостатком: Это означает, что найденное число $a$ должно быть меньше или равно истинному значению $\sqrt[3]{N}$. Это также называют приближением снизу или округлением вниз.

Объединив эти два условия, можно дать строгое математическое определение. Найти такое число $a$ (с тремя знаками после запятой), для которого выполняется следующее двойное неравенство:

$a \le \sqrt[3]{N} < a + 0.001$

Это неравенство говорит о том, что $a$ — это самое большое число с тремя знаками после запятой, которое все еще не превосходит $\sqrt[3]{N}$. Если к $a$ прибавить минимально возможный шаг для таких чисел ($0.001$), то результат уже будет больше $\sqrt[3]{N}$.

Практически, для нахождения такого числа $a$, нужно вычислить $\sqrt[3]{N}$ с большей точностью (например, до 4-го или 5-го знака после запятой), а затем просто отбросить все цифры, следующие за третьей.

Пример для N = 11 (простое число):

Нужно вычислить $\sqrt[3]{11}$ с точностью до третьего знака с недостатком.

1. Находим значение $\sqrt[3]{11}$ с помощью калькулятора: $\sqrt[3]{11} \approx 2.22398009...$

2. Чтобы получить приближение с недостатком до третьего знака, мы просто отбрасываем все цифры после третьей: $a = 2.223$.

3. Проверим, выполняется ли для $a = 2.223$ основное условие: $2.223 \le \sqrt[3]{11} < 2.223 + 0.001$, то есть $2.223 \le \sqrt[3]{11} < 2.224$.

Для этого возведем все части неравенства в куб:

$2.223^3 \le 11 < 2.224^3$

Вычисляем значения:

$2.223^3 = 10.985581667$

$2.224^3 = 11.000350584$

Получаем верное неравенство: $10.985... \le 11 < 11.000...$. Значит, число $2.223$ найдено правильно.

Ответ: Вычислить $\sqrt[3]{N}$ с точностью до третьего знака после запятой с недостатком означает найти такое десятичное число $a$ с тремя знаками после запятой, которое является наибольшим из всех подобных чисел, не превосходящих истинное значение $\sqrt[3]{N}$. Формально, это число $a$, для которого верно неравенство $a \le \sqrt[3]{N} < a + 0.001$.