Номер 352, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

352. Является ли рациональным число:

а) $\sqrt{4}$;

б) $\sqrt[3]{64}$;

в) $\sqrt[3]{5}$;

г) $\sqrt[4]{64}$?

Для решения этой задачи необходимо определить, можно ли представить каждое из данных чисел в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Корень $k$-ой степени из целого числа является рациональным только в том случае, если подкоренное выражение является точной $k$-ой степенью другого целого числа.

а) Рассмотрим число $\sqrt{4}$.

Квадратный корень из 4 равен 2, потому что $2^2 = 4$. Число 2 является целым. Любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби со знаменателем 1. В данном случае, $2 = \frac{2}{1}$.

Ответ: да, является.

б) Рассмотрим число $\sqrt[3]{64}$.

Кубический корень из 64 равен 4, потому что $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$. Число 4 является целым, а следовательно, и рациональным, так как его можно записать в виде дроби $4 = \frac{4}{1}$.

Ответ: да, является.

в) Рассмотрим число $\sqrt[3]{5}$.

Чтобы это число было рациональным, число 5 должно быть точным кубом какого-либо целого числа. Проверим ближайшие целые числа: $1^3 = 1$ и $2^3 = 8$. Поскольку $1 < 5 < 8$, кубический корень из 5 не является целым числом. Следовательно, $\sqrt[3]{5}$ — это иррациональное число.

Ответ: нет, не является.

г) Рассмотрим число $\sqrt[4]{64}$.

Чтобы это число было рациональным, число 64 должно быть точной четвертой степенью какого-либо целого числа. Проверим ближайшие целые числа: $2^4 = 16$ и $3^4 = 81$. Поскольку $16 < 64 < 81$, корень четвертой степени из 64 не является целым числом. Следовательно, $\sqrt[4]{64}$ — это иррациональное число. Это также можно увидеть, упростив выражение: $\sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{2^6} = 2^{\frac{6}{4}} = 2^{\frac{3}{2}} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2}$ является иррациональным числом, то и произведение $2\sqrt{2}$ также иррационально.

Ответ: нет, не является.