Номер 351, страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

351. Докажите иррациональность числа:

а) $\sqrt[3]{2}$;

б) $\sqrt[3]{n}$, где $n$ — простое число.

а) Докажем иррациональность числа $ \sqrt[3]{2} $ методом от противного. Предположим, что $ \sqrt[3]{2} $ является рациональным числом. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $ \frac{p}{q} $, где $ p $ — целое число, $ q $ — натуральное число, и наибольший общий делитель $ НОД(p, q) = 1 $.
Итак, $ \sqrt[3]{2} = \frac{p}{q} $.
Возведем обе части уравнения в третью степень:
$ (\sqrt[3]{2})^3 = (\frac{p}{q})^3 $
$ 2 = \frac{p^3}{q^3} $
Отсюда следует, что $ p^3 = 2q^3 $.
Из этого равенства видно, что $ p^3 $ является четным числом (так как оно равно произведению 2 на целое число $ q^3 $). Если куб целого числа является четным, то и само число должно быть четным. Следовательно, $ p $ — четное число.
Раз $ p $ — четное, его можно представить в виде $ p = 2k $, где $ k $ — некоторое целое число.
Подставим это выражение для $ p $ в уравнение $ p^3 = 2q^3 $:
$ (2k)^3 = 2q^3 $
$ 8k^3 = 2q^3 $
Разделим обе части на 2:
$ 4k^3 = q^3 $, или $ q^3 = 2(2k^3) $.
Из последнего равенства следует, что $ q^3 $ также является четным числом. А значит, и число $ q $ должно быть четным.
Таким образом, мы получили, что и $ p $, и $ q $ являются четными числами. Это означает, что у них есть общий делитель 2. Но это противоречит нашему первоначальному предположению, что дробь $ \frac{p}{q} $ является несократимой ($ НОД(p, q) = 1 $).
Следовательно, наше исходное предположение о том, что $ \sqrt[3]{2} $ — рациональное число, неверно.
Ответ: число $ \sqrt[3]{2} $ является иррациональным, что и требовалось доказать.

б) Докажем иррациональность числа $ \sqrt[3]{n} $, где $ n $ — простое число, методом от противного. Предположим, что $ \sqrt[3]{n} $ является рациональным числом. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $ \frac{p}{q} $, где $ p $ — целое число, $ q $ — натуральное число, и $ НОД(p, q) = 1 $.
Итак, $ \sqrt[3]{n} = \frac{p}{q} $.
Возведем обе части уравнения в третью степень:
$ (\sqrt[3]{n})^3 = (\frac{p}{q})^3 $
$ n = \frac{p^3}{q^3} $
Отсюда получаем равенство: $ p^3 = nq^3 $.
Из этого равенства следует, что $ p^3 $ делится на простое число $ n $. Согласно основной теореме арифметики, если куб целого числа делится на простое число $ n $, то и само число должно делиться на $ n $. В нашем случае $ p^3 $ делится на $ n $, значит, и само число $ p $ должно делиться на $ n $.
Следовательно, $ p $ можно представить в виде $ p = nk $ для некоторого целого числа $ k $.
Подставим это выражение в уравнение $ p^3 = nq^3 $:
$ (nk)^3 = nq^3 $
$ n^3k^3 = nq^3 $
Поскольку $ n $ — простое число, $ n \neq 0 $, мы можем разделить обе части уравнения на $ n $:
$ n^2k^3 = q^3 $.
Из этого равенства следует, что $ q^3 $ делится на $ n $ (так как $ q^3 = n \cdot (nk^3) $). Рассуждая аналогично, как и для $ p $, мы заключаем, что и само число $ q $ должно делиться на $ n $.
Мы получили, что и $ p $, и $ q $ делятся на простое число $ n $. Это означает, что у них есть общий делитель $ n $, который больше 1. Но это противоречит нашему первоначальному условию, что дробь $ \frac{p}{q} $ является несократимой ($ НОД(p, q) = 1 $).
Таким образом, наше предположение о рациональности $ \sqrt[3]{n} $ было неверным.
Ответ: число $ \sqrt[3]{n} $, где $ n $ — простое число, является иррациональным, что и требовалось доказать.