Номер 358, страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

358. Вычислите с точностью до третьего знака после запятой:

a) $\sqrt[3]{3}$;

б) $\sqrt[3]{5}$;

в) $\sqrt[3]{7}$.

а) $\sqrt[3]{3}$

Для вычисления значения $\sqrt[3]{3}$ с точностью до третьего знака после запятой будем использовать метод последовательных приближений (подбора), находя цифры одну за другой.

1. Найдем целую часть числа. Проверим кубы целых чисел:
$1^3 = 1$
$2^3 = 8$
Так как $1 < 3 < 8$, то $1 < \sqrt[3]{3} < 2$. Целая часть искомого числа равна 1.

2. Найдем первую цифру после запятой. Будем возводить в куб числа от 1,1 до 1,9:
$1.4^3 = 2.744$
$1.5^3 = 3.375$
Так как $2.744 < 3 < 3.375$, то $1.4 < \sqrt[3]{3} < 1.5$. Первая цифра после запятой равна 4.

3. Найдем вторую цифру после запятой, проверяя числа от 1,41 до 1,49:
$1.44^3 = 2.985984$
$1.45^3 = 3.048625$
Так как $2.985984 < 3 < 3.048625$, то $1.44 < \sqrt[3]{3} < 1.45$. Вторая цифра после запятой равна 4.

4. Найдем третью цифру после запятой:
$1.442^3 = 2.998413128$
$1.443^3 = 3.004581147$
Так как $2.998413128 < 3 < 3.004581147$, то $1.442 < \sqrt[3]{3} < 1.443$. Третья цифра после запятой равна 2.

5. Для округления до третьего знака нам необходимо знать четвертую цифру.
$1.4422^3 \approx 2.99965$
$1.4423^3 \approx 3.00027$
Значит, $1.4422 < \sqrt[3]{3} < 1.4423$. Четвертая цифра после запятой равна 2.

Итоговое число имеет вид $1.4422...$ . Для округления до третьего знака смотрим на четвертый знак (2). Так как $2 < 5$, то округляем в меньшую сторону (оставляем третью цифру без изменений).

Ответ: 1.442

б) $\sqrt[3]{5}$

Вычислим значение $\sqrt[3]{5}$ с точностью до третьего знака после запятой.

1. Найдем целую часть числа:
$1^3 = 1$
$2^3 = 8$
Так как $1 < 5 < 8$, то $1 < \sqrt[3]{5} < 2$. Целая часть равна 1.

2. Найдем первую цифру после запятой:
$1.7^3 = 4.913$
$1.8^3 = 5.832$
Так как $4.913 < 5 < 5.832$, то $1.7 < \sqrt[3]{5} < 1.8$. Первая цифра после запятой равна 7.

3. Найдем вторую цифру после запятой:
$1.70^3 = 4.913$
$1.71^3 = 5.000211$
Так как $4.913 < 5 < 5.000211$, то $1.70 < \sqrt[3]{5} < 1.71$. Вторая цифра после запятой равна 0.

4. Найдем третью цифру после запятой:
$1.709^3 \approx 4.9919$
$1.710^3 = 5.000211$
Так как $4.9919 < 5 < 5.000211$, то $1.709 < \sqrt[3]{5} < 1.710$. Третья цифра после запятой равна 9.

5. Для округления найдем четвертую цифру:
$1.7099^3 \approx 4.9993$
$1.7100^3 \approx 5.0002$
Значит, $1.7099 < \sqrt[3]{5} < 1.7100$. Четвертая цифра после запятой равна 9.

Итоговое число имеет вид $1.7099...$ . Для округления до третьего знака смотрим на четвертый знак (9). Так как $9 \ge 5$, то округляем в большую сторону. Третья цифра (9) увеличивается на 1, что приводит к увеличению всего числа: $1.709... \to 1.710$.

Ответ: 1.710

в) $\sqrt[3]{7}$

Вычислим значение $\sqrt[3]{7}$ с точностью до третьего знака после запятой.

1. Найдем целую часть числа:
$1^3 = 1$
$2^3 = 8$
Так как $1 < 7 < 8$, то $1 < \sqrt[3]{7} < 2$. Целая часть равна 1.

2. Найдем первую цифру после запятой:
$1.9^3 = 6.859$
$2.0^3 = 8$
Так как $6.859 < 7 < 8$, то $1.9 < \sqrt[3]{7} < 2.0$. Первая цифра после запятой равна 9.

3. Найдем вторую цифру после запятой:
$1.91^3 = 6.967871$
$1.92^3 = 7.077888$
Так как $6.967871 < 7 < 7.077888$, то $1.91 < \sqrt[3]{7} < 1.92$. Вторая цифра после запятой равна 1.

4. Найдем третью цифру после запятой:
$1.912^3 = 6.991439848$
$1.913^3 = 7.002905797$
Так как $6.9914... < 7 < 7.0029...$, то $1.912 < \sqrt[3]{7} < 1.913$. Третья цифра после запятой равна 2.

5. Для округления найдем четвертую цифру:
$1.9129^3 \approx 6.9998$
$1.9130^3 \approx 7.0029$
Значит, $1.9129 < \sqrt[3]{7} < 1.9130$. Четвертая цифра после запятой равна 9.

Итоговое число имеет вид $1.9129...$ . Для округления до третьего знака смотрим на четвертый знак (9). Так как $9 \ge 5$, то округляем в большую сторону. Третья цифра (2) увеличивается на 1.

Ответ: 1.913