Страница 104 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

354. Найдите приближённое значение кубического корня с точностью до 0,1 из следующих чисел:

а) 3;

б) 6;

в) 8;

г) 10.

а) Для нахождения приближённого значения $\sqrt[3]{3}$ с точностью до 0,1, определим, между какими целыми числами оно находится. Так как $1^3 = 1$ и $2^3 = 8$, то $1 < \sqrt[3]{3} < 2$.

Теперь будем последовательно возводить в куб числа с одним знаком после запятой:

$1.4^3 = 1.4 \times 1.4 \times 1.4 = 2.744$

$1.5^3 = 1.5 \times 1.5 \times 1.5 = 3.375$

Поскольку $2.744 < 3 < 3.375$, то корень находится между 1,4 и 1,5. Чтобы определить, к какому из этих чисел искомое значение ближе, найдём разности между числом 3 и полученными кубами:

$|3 - 2.744| = 0.256$

$|3.375 - 3| = 0.375$

Так как $0.256 < 0.375$, то число 3 ближе к $2.744$, следовательно, $\sqrt[3]{3}$ ближе к 1,4.

Ответ: $\sqrt[3]{3} \approx 1.4$

б) Для нахождения $\sqrt[3]{6}$, заметим, что $1^3 = 1$ и $2^3 = 8$, поэтому $1 < \sqrt[3]{6} < 2$.

Возводим в куб числа с десятыми долями:

$1.8^3 = 1.8 \times 1.8 \times 1.8 = 5.832$

$1.9^3 = 1.9 \times 1.9 \times 1.9 = 6.859$

Так как $5.832 < 6 < 6.859$, корень находится между 1,8 и 1,9. Сравним разности:

$|6 - 5.832| = 0.168$

$|6.859 - 6| = 0.859$

Поскольку $0.168 < 0.859$, то число 6 ближе к $5.832$, следовательно, $\sqrt[3]{6}$ ближе к 1,8.

Ответ: $\sqrt[3]{6} \approx 1.8$

в) Найдём $\sqrt[3]{8}$.

Это точное значение, так как $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$.

Следовательно, $\sqrt[3]{8} = 2$. С точностью до 0,1 это значение записывается как 2,0.

Ответ: $\sqrt[3]{8} = 2.0$

г) Для нахождения $\sqrt[3]{10}$, заметим, что $2^3 = 8$ и $3^3 = 27$, поэтому $2 < \sqrt[3]{10} < 3$.

Возводим в куб числа с десятыми долями:

$2.1^3 = 2.1 \times 2.1 \times 2.1 = 9.261$

$2.2^3 = 2.2 \times 2.2 \times 2.2 = 10.648$

Так как $9.261 < 10 < 10.648$, корень находится между 2,1 и 2,2. Сравним разности:

$|10 - 9.261| = 0.739$

$|10.648 - 10| = 0.648$

Поскольку $0.648 < 0.739$, то число 10 ближе к $10.648$, следовательно, $\sqrt[3]{10}$ ближе к 2,2.

Ответ: $\sqrt[3]{10} \approx 2.2$

355. Вычислите с точностью до 1:

а) $\sqrt[3]{175}$;

б) $\sqrt[3]{241}$;

в) $\sqrt[4]{105}$;

г) $\sqrt[4]{273}$.

а) Чтобы вычислить $\sqrt[3]{175}$ с точностью до 1, необходимо найти целое число, которое является наилучшим приближением для данного корня. Для этого найдем два последовательных целых числа, между которыми заключено значение корня. Мы будем возводить целые числа в куб, чтобы найти ближайшие значения к 175.
$5^3 = 125$
$6^3 = 216$
Так как $125 < 175 < 216$, то значение $\sqrt[3]{175}$ находится между 5 и 6.
Чтобы определить, к какому из целых чисел (5 или 6) значение корня ближе, сравним, насколько 175 удалено от 125 и 216:
$|175 - 125| = 50$
$|175 - 216| = 41$
Поскольку 175 ближе к 216, чем к 125 (так как $41 < 50$), то $\sqrt[3]{175}$ ближе к 6.
Ответ: 6

б) Чтобы вычислить $\sqrt[3]{241}$ с точностью до 1, найдем два последовательных целых числа, между которыми заключено значение корня, путем возведения чисел в куб.
$6^3 = 216$
$7^3 = 343$
Так как $216 < 241 < 343$, то значение $\sqrt[3]{241}$ находится между 6 и 7.
Теперь определим, к какому из целых чисел (6 или 7) значение корня ближе, сравнив расстояния от 241 до кубов этих чисел:
$|241 - 216| = 25$
$|241 - 343| = 102$
Поскольку 241 ближе к 216, чем к 343 (так как $25 < 102$), то $\sqrt[3]{241}$ ближе к 6.
Ответ: 6

в) Чтобы вычислить $\sqrt[4]{105}$ с точностью до 1, найдем два последовательных целых числа, между которыми заключено значение корня, путем возведения чисел в четвертую степень.
$3^4 = 81$
$4^4 = 256$
Так как $81 < 105 < 256$, то значение $\sqrt[4]{105}$ находится между 3 и 4.
Определим, к какому из целых чисел (3 или 4) значение корня ближе, сравнив расстояния от 105 до четвертых степеней этих чисел:
$|105 - 81| = 24$
$|105 - 256| = 151$
Поскольку 105 ближе к 81, чем к 256 (так как $24 < 151$), то $\sqrt[4]{105}$ ближе к 3.
Ответ: 3

г) Чтобы вычислить $\sqrt[4]{273}$ с точностью до 1, найдем два последовательных целых числа, между которыми заключено значение корня, путем возведения чисел в четвертую степень.
$4^4 = 256$
$5^4 = 625$
Так как $256 < 273 < 625$, то значение $\sqrt[4]{273}$ находится между 4 и 5.
Определим, к какому из целых чисел (4 или 5) значение корня ближе, сравнив расстояния от 273 до четвертых степеней этих чисел:
$|273 - 256| = 17$
$|273 - 625| = 352$
Поскольку 273 ближе к 256, чем к 625 (так как $17 < 352$), то $\sqrt[4]{273}$ ближе к 4.
Ответ: 4

356. Проверьте справедливость неравенств:

а) $3 < \sqrt[3]{30} < 4;$

б) $7 < \sqrt[3]{350} < 8;$

в) $5,1 < \sqrt[3]{135} < 5,2;$

г) $3,5 < \sqrt[3]{45} < 3,6.$

а) Чтобы проверить справедливость двойного неравенства $3 < \sqrt[3]{30} < 4$, возведем все его части в третью степень. Так как функция $y=x^3$ является строго возрастающей, знаки неравенства сохранятся.
Получим неравенство:
$3^3 < (\sqrt[3]{30})^3 < 4^3$
$27 < 30 < 64$
Данное неравенство является верным, поскольку $27 < 30$ и $30 < 64$. Следовательно, исходное неравенство справедливо.
Ответ: неравенство справедливо.

б) Для проверки неравенства $7 < \sqrt[3]{350} < 8$ возведем все его части в третью (кубическую) степень.
$7^3 < (\sqrt[3]{350})^3 < 8^3$
Вычислим значения:
$7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 343$
$8^3 = 8 \cdot 8 \cdot 8 = 512$
Получаем неравенство:
$343 < 350 < 512$
Так как $343 < 350$ и $350 < 512$, полученное неравенство верно. Значит, и исходное неравенство справедливо.
Ответ: неравенство справедливо.

в) Проверим неравенство $5,1 < \sqrt[3]{135} < 5,2$. Возводим все части в третью степень.
$(5,1)^3 < (\sqrt[3]{135})^3 < (5,2)^3$
Вычислим значения кубов:
$(5,1)^3 = 5,1 \cdot 5,1 \cdot 5,1 = 26,01 \cdot 5,1 = 132,651$
$(5,2)^3 = 5,2 \cdot 5,2 \cdot 5,2 = 27,04 \cdot 5,2 = 140,608$
Подставим результаты в неравенство:
$132,651 < 135 < 140,608$
Это неравенство верно, поскольку $132,651 < 135$ и $135 < 140,608$. Следовательно, исходное неравенство справедливо.
Ответ: неравенство справедливо.

г) Проверим неравенство $3,5 < \sqrt[3]{45} < 3,6$. Возводим все части в куб.
$(3,5)^3 < (\sqrt[3]{45})^3 < (3,6)^3$
Вычислим значения кубов:
$(3,5)^3 = 3,5 \cdot 3,5 \cdot 3,5 = 12,25 \cdot 3,5 = 42,875$
$(3,6)^3 = 3,6 \cdot 3,6 \cdot 3,6 = 12,96 \cdot 3,6 = 46,656$
Подставим вычисленные значения в неравенство:
$42,875 < 45 < 46,656$
Это неравенство является верным, так как $42,875 < 45$ и $45 < 46,656$. Значит, исходное неравенство справедливо.
Ответ: неравенство справедливо.

357. Какое число является лучшим приближением $ \sqrt[3]{96} $:

а) 4 или 5;

б) 4,5 или 4,6?

а) Чтобы определить, какое из чисел, 4 или 5, является лучшим приближением для $\sqrt[3]{96}$, возведем каждое из этих чисел в куб и сравним результат с числом 96. Чем ближе результат к 96, тем лучше приближение.

Вычислим кубы чисел:
$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$
$5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$

Теперь найдем абсолютную разницу (расстояние на числовой прямой) между 96 и каждым из полученных кубов:
$|96 - 64| = 32$
$|96 - 125| = 29$

Поскольку разница с 125 (равная 29) меньше, чем разница с 64 (равная 32), то число 125 находится ближе к 96. Следовательно, 5 является лучшим приближением для $\sqrt[3]{96}$.

Ответ: 5

б) Действуем аналогично. Чтобы сравнить 4,5 и 4,6 как приближения для $\sqrt[3]{96}$, возведем их в куб.

Вычислим кубы чисел:
$4,5^3 = 4,5 \cdot 4,5 \cdot 4,5 = 20,25 \cdot 4,5 = 91,125$
$4,6^3 = 4,6 \cdot 4,6 \cdot 4,6 = 21,16 \cdot 4,6 = 97,336$

Найдем абсолютную разницу между 96 и каждым из результатов:
$|96 - 91,125| = 4,875$
$|96 - 97,336| = |-1,336| = 1,336$

Так как $1,336 < 4,875$, число 97,336 находится ближе к 96. Это означает, что 4,6 является лучшим приближением для $\sqrt[3]{96}$.

Ответ: 4,6

358. Вычислите с точностью до третьего знака после запятой:

a) $\sqrt[3]{3}$;

б) $\sqrt[3]{5}$;

в) $\sqrt[3]{7}$.

а) $\sqrt[3]{3}$

Для вычисления значения $\sqrt[3]{3}$ с точностью до третьего знака после запятой будем использовать метод последовательных приближений (подбора), находя цифры одну за другой.

1. Найдем целую часть числа. Проверим кубы целых чисел:
$1^3 = 1$
$2^3 = 8$
Так как $1 < 3 < 8$, то $1 < \sqrt[3]{3} < 2$. Целая часть искомого числа равна 1.

2. Найдем первую цифру после запятой. Будем возводить в куб числа от 1,1 до 1,9:
$1.4^3 = 2.744$
$1.5^3 = 3.375$
Так как $2.744 < 3 < 3.375$, то $1.4 < \sqrt[3]{3} < 1.5$. Первая цифра после запятой равна 4.

3. Найдем вторую цифру после запятой, проверяя числа от 1,41 до 1,49:
$1.44^3 = 2.985984$
$1.45^3 = 3.048625$
Так как $2.985984 < 3 < 3.048625$, то $1.44 < \sqrt[3]{3} < 1.45$. Вторая цифра после запятой равна 4.

4. Найдем третью цифру после запятой:
$1.442^3 = 2.998413128$
$1.443^3 = 3.004581147$
Так как $2.998413128 < 3 < 3.004581147$, то $1.442 < \sqrt[3]{3} < 1.443$. Третья цифра после запятой равна 2.

5. Для округления до третьего знака нам необходимо знать четвертую цифру.
$1.4422^3 \approx 2.99965$
$1.4423^3 \approx 3.00027$
Значит, $1.4422 < \sqrt[3]{3} < 1.4423$. Четвертая цифра после запятой равна 2.

Итоговое число имеет вид $1.4422...$ . Для округления до третьего знака смотрим на четвертый знак (2). Так как $2 < 5$, то округляем в меньшую сторону (оставляем третью цифру без изменений).

Ответ: 1.442

б) $\sqrt[3]{5}$

Вычислим значение $\sqrt[3]{5}$ с точностью до третьего знака после запятой.

1. Найдем целую часть числа:
$1^3 = 1$
$2^3 = 8$
Так как $1 < 5 < 8$, то $1 < \sqrt[3]{5} < 2$. Целая часть равна 1.

2. Найдем первую цифру после запятой:
$1.7^3 = 4.913$
$1.8^3 = 5.832$
Так как $4.913 < 5 < 5.832$, то $1.7 < \sqrt[3]{5} < 1.8$. Первая цифра после запятой равна 7.

3. Найдем вторую цифру после запятой:
$1.70^3 = 4.913$
$1.71^3 = 5.000211$
Так как $4.913 < 5 < 5.000211$, то $1.70 < \sqrt[3]{5} < 1.71$. Вторая цифра после запятой равна 0.

4. Найдем третью цифру после запятой:
$1.709^3 \approx 4.9919$
$1.710^3 = 5.000211$
Так как $4.9919 < 5 < 5.000211$, то $1.709 < \sqrt[3]{5} < 1.710$. Третья цифра после запятой равна 9.

5. Для округления найдем четвертую цифру:
$1.7099^3 \approx 4.9993$
$1.7100^3 \approx 5.0002$
Значит, $1.7099 < \sqrt[3]{5} < 1.7100$. Четвертая цифра после запятой равна 9.

Итоговое число имеет вид $1.7099...$ . Для округления до третьего знака смотрим на четвертый знак (9). Так как $9 \ge 5$, то округляем в большую сторону. Третья цифра (9) увеличивается на 1, что приводит к увеличению всего числа: $1.709... \to 1.710$.

Ответ: 1.710

в) $\sqrt[3]{7}$

Вычислим значение $\sqrt[3]{7}$ с точностью до третьего знака после запятой.

1. Найдем целую часть числа:
$1^3 = 1$
$2^3 = 8$
Так как $1 < 7 < 8$, то $1 < \sqrt[3]{7} < 2$. Целая часть равна 1.

2. Найдем первую цифру после запятой:
$1.9^3 = 6.859$
$2.0^3 = 8$
Так как $6.859 < 7 < 8$, то $1.9 < \sqrt[3]{7} < 2.0$. Первая цифра после запятой равна 9.

3. Найдем вторую цифру после запятой:
$1.91^3 = 6.967871$
$1.92^3 = 7.077888$
Так как $6.967871 < 7 < 7.077888$, то $1.91 < \sqrt[3]{7} < 1.92$. Вторая цифра после запятой равна 1.

4. Найдем третью цифру после запятой:
$1.912^3 = 6.991439848$
$1.913^3 = 7.002905797$
Так как $6.9914... < 7 < 7.0029...$, то $1.912 < \sqrt[3]{7} < 1.913$. Третья цифра после запятой равна 2.

5. Для округления найдем четвертую цифру:
$1.9129^3 \approx 6.9998$
$1.9130^3 \approx 7.0029$
Значит, $1.9129 < \sqrt[3]{7} < 1.9130$. Четвертая цифра после запятой равна 9.

Итоговое число имеет вид $1.9129...$ . Для округления до третьего знака смотрим на четвертый знак (9). Так как $9 \ge 5$, то округляем в большую сторону. Третья цифра (2) увеличивается на 1.

Ответ: 1.913

359. Вычислите с точностью до первого знака после запятой:

а) $\sqrt[4]{3};$

б) $\sqrt[5]{7};$

в) $\sqrt[5]{8}.$

а) $\sqrt[4]{3}$
Чтобы вычислить значение $\sqrt[4]{3}$ с точностью до первого знака после запятой, будем последовательно подбирать цифры. Мы ищем число $x$, такое что $x^4=3$. Для правильного округления до десятых нам нужно найти значение с точностью до сотых.
1. Найдём целую часть. Так как $1^4=1$ и $2^4=16$, а $1 < 3 < 16$, то $1 < \sqrt[4]{3} < 2$. Целая часть искомого числа равна 1.
2. Найдём первую цифру после запятой. Проверим десятые доли:
$1,3^4 = (1,3^2)^2 = 1,69^2 = 2,8561$
$1,4^4 = (1,4^2)^2 = 1,96^2 = 3,8416$
Так как $2,8561 < 3 < 3,8416$, то $1,3 < \sqrt[4]{3} < 1,4$. Первая цифра после запятой - 3.
3. Найдём вторую цифру после запятой для выполнения округления. Проверим сотые доли:
$1,31^4 = (1,31^2)^2 = 1,7161^2 \approx 2,945$
$1,32^4 = (1,32^2)^2 = 1,7424^2 \approx 3,036$
Так как $2,945 < 3 < 3,036$, то $1,31 < \sqrt[4]{3} < 1,32$.
Таким образом, $\sqrt[4]{3} \approx 1,31...$. Округляя до первого знака после запятой, получаем 1,3 (так как вторая цифра, 1, меньше 5).
Ответ: 1,3

б) $\sqrt[5]{7}$
Чтобы вычислить значение $\sqrt[5]{7}$ с точностью до первого знака после запятой, ищем число $x$, такое что $x^5=7$. Для округления до десятых определим значение до сотых.
1. Найдём целую часть. Так как $1^5=1$ и $2^5=32$, а $1 < 7 < 32$, то $1 < \sqrt[5]{7} < 2$. Целая часть равна 1.
2. Найдём первую цифру после запятой:
$1,4^5 \approx 5,378$
$1,5^5 \approx 7,594$
Так как $5,378 < 7 < 7,594$, то $1,4 < \sqrt[5]{7} < 1,5$. Первая цифра после запятой - 4.
3. Найдём вторую цифру после запятой для округления:
$1,47^5 \approx 6,865$
$1,48^5 \approx 7,101$
Так как $6,865 < 7 < 7,101$, то $1,47 < \sqrt[5]{7} < 1,48$.
Следовательно, $\sqrt[5]{7} \approx 1,47...$. Округляя до первого знака после запятой, получаем 1,5 (так как вторая цифра, 7, больше или равна 5).
Ответ: 1,5

в) $\sqrt[5]{8}$
Чтобы вычислить значение $\sqrt[5]{8}$ с точностью до первого знака после запятой, ищем число $x$, такое что $x^5=8$. Для округления до десятых определим значение до сотых.
1. Найдём целую часть. Так как $1^5=1$ и $2^5=32$, а $1 < 8 < 32$, то $1 < \sqrt[5]{8} < 2$. Целая часть равна 1.
2. Найдём первую цифру после запятой:
$1,5^5 \approx 7,594$
$1,6^5 \approx 10,486$
Так как $7,594 < 8 < 10,486$, то $1,5 < \sqrt[5]{8} < 1,6$. Первая цифра после запятой - 5.
3. Найдём вторую цифру после запятой для округления:
$1,51^5 \approx 7,850$
$1,52^5 \approx 8,114$
Так как $7,850 < 8 < 8,114$, то $1,51 < \sqrt[5]{8} < 1,52$.
Таким образом, $\sqrt[5]{8} \approx 1,51...$. Округляя до первого знака после запятой, получаем 1,5 (так как вторая цифра, 1, меньше 5).
Ответ: 1,5