Страница 103 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

345. Может ли быть рациональным числом корень степени $n (n \ge 2)$:

а) из простого числа;

б) из натурального числа?

а) Нет, не может. Докажем это методом от противного. Предположим, что корень n-й степени ($n \geq 2$) из простого числа $p$ является рациональным числом. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{k}{m}$, где $k$ и $m$ — натуральные числа и их наибольший общий делитель равен 1. Из равенства $\sqrt[n]{p} = \frac{k}{m}$ после возведения в n-ю степень получаем $p = \frac{k^n}{m^n}$, или $p \cdot m^n = k^n$. Из этого следует, что $k^n$ делится на простое число $p$. По свойству простых чисел, если $p$ делит произведение, оно должно делить хотя бы один из сомножителей. Так как $k^n = k \cdot k \cdot ... \cdot k$, то $p$ делит $k$. Значит, $k = a \cdot p$ для некоторого натурального числа $a$. Подставив это в $p \cdot m^n = k^n$, получим $p \cdot m^n = (a \cdot p)^n = a^n p^n$. Разделив на $p$, имеем $m^n = a^n p^{n-1}$. Так как $n \geq 2$, то $n-1 \geq 1$, и правая часть делится на $p$. Значит, $m^n$ тоже делится на $p$, а следовательно, и $m$ делится на $p$. Мы получили, что и $k$, и $m$ делятся на $p$, что противоречит предположению о несократимости дроби $\frac{k}{m}$. Следовательно, исходное предположение неверно, и корень n-й степени из простого числа всегда иррационален.
Ответ: нет.

б) Да, может. Это происходит в том случае, когда натуральное число $N$ является точной n-й степенью некоторого натурального числа. В этом случае корень $\sqrt[n]{N}$ будет натуральным числом, а любое натуральное число является рациональным.
Докажем, что если корень n-й степени из натурального числа $N$ рационален, то он обязательно является целым. Пусть $\sqrt[n]{N} = \frac{k}{m}$, где $\frac{k}{m}$ — несократимая дробь ($k$ и $m$ — натуральные числа, и их наибольший общий делитель равен 1). Возведя обе части в степень $n$, получим $N = \frac{k^n}{m^n}$, откуда $N \cdot m^n = k^n$. Из этого равенства следует, что $k^n$ делится на $m^n$. Но так как $k$ и $m$ взаимно просты, то и $k^n$ и $m^n$ тоже взаимно просты. Единственная возможность для $m^n$ делить $k^n$ в этом случае — это когда $m^n=1$, что означает $m=1$. Следовательно, $\sqrt[n]{N} = \frac{k}{1} = k$, то есть является целым (в данном случае натуральным) числом.
Например, $\sqrt[3]{64} = 4$. Число $64$ — натуральное, а его кубический корень, $4$, является рациональным числом. Другой пример: $\sqrt{81} = 9$. Число $81$ — натуральное, а его квадратный корень, $9$, является рациональным.
Ответ: да.

346. Что значит вычислить с точностью до третьего знака после запятой (с недостатком) $\sqrt[3]{N}$, где $N$ — простое число?

Фраза "вычислить с точностью до третьего знака после запятой (с недостатком) $\sqrt[3]{N}$, где $N$ — простое число" описывает процесс нахождения приближенного значения иррационального числа. Поскольку $N$ — простое число, оно не может быть кубом целого числа, а значит, $\sqrt[3]{N}$ является иррациональным числом (его десятичное представление бесконечно и непериодично).

Вычисление такого значения означает нахождение десятичной дроби $a$, которая удовлетворяет следующим условиям:

1. Точность до третьего знака: Искомое число $a$ должно быть десятичной дробью с ровно тремя знаками после запятой. То есть оно должно иметь вид $c,d_1d_2d_3$, где $c$ — целая часть, а $d_1, d_2, d_3$ — цифры от 0 до 9. Погрешность такого приближения не должна превышать $0.001$.
2. Приближение с недостатком: Это означает, что найденное число $a$ должно быть меньше или равно истинному значению $\sqrt[3]{N}$. Это также называют приближением снизу или округлением вниз.

Объединив эти два условия, можно дать строгое математическое определение. Найти такое число $a$ (с тремя знаками после запятой), для которого выполняется следующее двойное неравенство:

$a \le \sqrt[3]{N} < a + 0.001$

Это неравенство говорит о том, что $a$ — это самое большое число с тремя знаками после запятой, которое все еще не превосходит $\sqrt[3]{N}$. Если к $a$ прибавить минимально возможный шаг для таких чисел ($0.001$), то результат уже будет больше $\sqrt[3]{N}$.

Практически, для нахождения такого числа $a$, нужно вычислить $\sqrt[3]{N}$ с большей точностью (например, до 4-го или 5-го знака после запятой), а затем просто отбросить все цифры, следующие за третьей.

Пример для N = 11 (простое число):

Нужно вычислить $\sqrt[3]{11}$ с точностью до третьего знака с недостатком.

1. Находим значение $\sqrt[3]{11}$ с помощью калькулятора: $\sqrt[3]{11} \approx 2.22398009...$

2. Чтобы получить приближение с недостатком до третьего знака, мы просто отбрасываем все цифры после третьей: $a = 2.223$.

3. Проверим, выполняется ли для $a = 2.223$ основное условие: $2.223 \le \sqrt[3]{11} < 2.223 + 0.001$, то есть $2.223 \le \sqrt[3]{11} < 2.224$.

Для этого возведем все части неравенства в куб:

$2.223^3 \le 11 < 2.224^3$

Вычисляем значения:

$2.223^3 = 10.985581667$

$2.224^3 = 11.000350584$

Получаем верное неравенство: $10.985... \le 11 < 11.000...$. Значит, число $2.223$ найдено правильно.

Ответ: Вычислить $\sqrt[3]{N}$ с точностью до третьего знака после запятой с недостатком означает найти такое десятичное число $a$ с тремя знаками после запятой, которое является наибольшим из всех подобных чисел, не превосходящих истинное значение $\sqrt[3]{N}$. Формально, это число $a$, для которого верно неравенство $a \le \sqrt[3]{N} < a + 0.001$.

347. Если натуральное число N не есть куб натурального числа, то

является ли число $\sqrt[3]{N}$ иррациональным?

Да, если натуральное число $N$ не является кубом натурального числа, то число $\sqrt[3]{N}$ всегда является иррациональным.

Докажем это утверждение методом от противного.

Предположим, что число $\sqrt[3]{N}$ является рациональным. По определению, любое рациональное число можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ — натуральные числа ($p, q \in \mathbb{N}$), и их наибольший общий делитель равен 1 (НОД$(p, q) = 1$).

Итак, пусть $\sqrt[3]{N} = \frac{p}{q}$.

Возведем обе части этого равенства в третью степень:

$(\sqrt[3]{N})^3 = (\frac{p}{q})^3$

$N = \frac{p^3}{q^3}$

Умножим обе части на $q^3$, чтобы избавиться от знаменателя:

$N \cdot q^3 = p^3$

Теперь рассмотрим два возможных случая для знаменателя $q$.

1. Если $q = 1$.
Тогда наше равенство $\sqrt[3]{N} = \frac{p}{q}$ превращается в $\sqrt[3]{N} = p$. Возведя в куб, получаем $N = p^3$. Поскольку $p$ — натуральное число, это означает, что $N$ является кубом натурального числа. Однако это прямо противоречит условию задачи, согласно которому $N$ не является кубом натурального числа. Следовательно, этот случай невозможен.

2. Если $q > 1$.
Поскольку $q$ — натуральное число большее единицы, оно имеет хотя бы один простой делитель. Назовем его $d$. Из равенства $N \cdot q^3 = p^3$ следует, что $p^3$ делится на $q$ (и на $q^3$). Так как $q$ делится на свой простой делитель $d$, то и $p^3$ должно делиться на $d$.
Согласно основной теореме арифметики, если куб целого числа $p^3$ делится на простое число $d$, то и само число $p$ должно делиться на $d$.
Таким образом, мы выяснили, что и числитель $p$, и знаменатель $q$ имеют общий делитель $d > 1$. Это означает, что дробь $\frac{p}{q}$ является сократимой. Но это противоречит нашему первоначальному предположению, что дробь $\frac{p}{q}$ — несократимая.

Оба случая приводят к противоречию. Это означает, что наше первоначальное предположение о том, что $\sqrt[3]{N}$ является рациональным числом, было неверным. Следовательно, число $\sqrt[3]{N}$ должно быть иррациональным.

Ответ: Да, является.

348. Имеются ли среди натуральных чисел от 100 до 200 четвёртые степени каких-либо натуральных чисел?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо проверить, существует ли натуральное число $n$, четвертая степень которого ($n^4$) лежит в диапазоне от 100 до 200. Математически это можно записать как двойное неравенство:

$100 \le n^4 \le 200$

Мы будем последовательно вычислять четвертые степени натуральных чисел, чтобы найти число, удовлетворяющее этому условию.

Рассмотрим несколько первых натуральных чисел:

• Для $n=1$: $1^4 = 1$. Это значение меньше 100.

• Для $n=2$: $2^4 = 16$. Это значение меньше 100.

• Для $n=3$: $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$. Это значение меньше 100.

• Для $n=4$: $4^4 = 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 256$. Это значение больше 200.

Мы видим, что четвертая степень числа 3 ($3^4 = 81$) меньше 100, а четвертая степень следующего натурального числа 4 ($4^4 = 256$) уже больше 200. Поскольку функция $f(n) = n^4$ является возрастающей для натуральных чисел $n$, не существует такого натурального числа, четвертая степень которого находилась бы между 81 и 256. Следовательно, в диапазоне от 100 до 200 нет четвертых степеней натуральных чисел.

Ответ: Нет, среди натуральных чисел от 100 до 200 не имеется четвёртых степеней каких-либо натуральных чисел.

349. Является ли кубом натурального числа число:

а) 0;

б) 1;

в) -8;

г) 1000?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо определить, является ли каждое из заданных чисел кубом какого-либо натурального числа. Натуральные числа — это числа, которые мы используем для счета: $1, 2, 3, 4, ...$ и так далее. Важно помнить, что 0, отрицательные числа и дроби не являются натуральными. Куб числа $n$ — это результат его умножения на само себя трижды, что записывается как $n^3$.

а) Рассмотрим число 0. Нам нужно проверить, существует ли натуральное число $n$, такое что $n^3=0$. Единственное число, куб которого равен нулю, — это сам ноль, так как $0^3 = 0 \cdot 0 \cdot 0 = 0$. Однако, согласно определению, 0 не является натуральным числом. Следовательно, 0 не является кубом натурального числа.
Ответ: нет.

б) Рассмотрим число 1. Проверим, существует ли натуральное число $n$, для которого $n^3=1$. Такое число есть, и это 1, поскольку $1^3 = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$. Число 1 является натуральным. Значит, 1 — это куб натурального числа.
Ответ: да.

в) Рассмотрим число -8. Нам нужно найти натуральное число $n$, такое что $n^3=-8$. Все натуральные числа — положительные. При возведении любого положительного числа в третью степень результат также будет положительным. Так как число -8 отрицательное, оно не может быть кубом натурального числа. Стоит отметить, что -8 является кубом целого, но не натурального, числа -2, ведь $(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = -8$.
Ответ: нет.

г) Рассмотрим число 1000. Проверим, можно ли его представить в виде куба натурального числа. Мы ищем натуральное число $n$, для которого $n^3=1000$. Легко подобрать такое число: $10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000$. Число 10 является натуральным, поэтому 1000 — это куб натурального числа.
Ответ: да.

Доказываем (350–351).

350. Докажите, что не существует рационального числа, куб которого равен:

а) $2$;

б) $3$;

в) $4$;

г) $5$.

а) Доказательство проведем методом от противного. Допустим, что существует рациональное число $x$, куб которого равен 2. Такое число можно представить в виде несократимой дроби $x = \frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, $q$ — натуральное число, а также $p$ и $q$ являются взаимно простыми числами (их наибольший общий делитель равен 1).
Из условия $(\frac{p}{q})^3 = 2$ следует, что $\frac{p^3}{q^3} = 2$, или $p^3 = 2q^3$.
Из этого равенства видно, что $p^3$ является чётным числом. Если куб числа чётен, то и само число должно быть чётным (поскольку куб нечётного числа всегда нечётен). Таким образом, $p$ — чётное число.
Представим $p$ как $p = 2k$ для некоторого целого числа $k$. Подставим это выражение в наше уравнение:
$(2k)^3 = 2q^3$
$8k^3 = 2q^3$
Разделив обе части на 2, получаем:
$4k^3 = q^3$
Из этого нового равенства следует, что $q^3$ также является чётным числом (поскольку делится на 4). Следовательно, число $q$ тоже должно быть чётным.
Итак, мы пришли к выводу, что и $p$, и $q$ — чётные числа. Это значит, что они имеют общий делитель 2. Однако это противоречит нашему начальному предположению о том, что дробь $\frac{p}{q}$ несократима.
Полученное противоречие означает, что наше исходное допущение было неверным. Следовательно, не существует рационального числа, куб которого равен 2.
Ответ: Доказано.

б) Допустим, что существует рациональное число $x = \frac{p}{q}$, где дробь несократима, такое, что $x^3 = 3$.
Тогда $(\frac{p}{q})^3 = 3$, что эквивалентно $p^3 = 3q^3$.
Из этого равенства следует, что $p^3$ делится на 3. Если куб целого числа делится на простое число 3, то и само число должно делиться на 3. Значит, $p$ делится на 3.
Запишем $p$ в виде $p = 3k$, где $k$ — целое число. Подставим в уравнение:
$(3k)^3 = 3q^3$
$27k^3 = 3q^3$
Разделим обе части на 3:
$9k^3 = q^3$
Из этого равенства следует, что $q^3$ делится на 9, а значит, $q^3$ делится и на 3. Следовательно, само число $q$ также делится на 3.
Мы получили, что и $p$, и $q$ делятся на 3, то есть имеют общий делитель 3. Это противоречит предположению о том, что дробь $\frac{p}{q}$ несократима.
Таким образом, наше допущение неверно, и не существует рационального числа, куб которого равен 3.
Ответ: Доказано.

в) Допустим, что существует рациональное число $x = \frac{p}{q}$ (несократимая дробь), куб которого равен 4.
Тогда $(\frac{p}{q})^3 = 4$, откуда $p^3 = 4q^3$.
Из равенства $p^3 = 4q^3$ следует, что $p^3$ — чётное число. Значит, и $p$ — чётное число.
Пусть $p = 2k$ для некоторого целого $k$. Подставляем в уравнение:
$(2k)^3 = 4q^3$
$8k^3 = 4q^3$
Разделим обе части на 4:
$2k^3 = q^3$
Из этого равенства следует, что $q^3$ — чётное число, а значит, и $q$ — чётное число.
Мы снова пришли к выводу, что $p$ и $q$ оба являются чётными, что противоречит условию несократимости дроби $\frac{p}{q}$.
Следовательно, не существует рационального числа, куб которого равен 4.
Ответ: Доказано.

г) Допустим, что существует рациональное число $x = \frac{p}{q}$ (несократимая дробь), такое, что $x^3 = 5$.
Тогда $(\frac{p}{q})^3 = 5$, что эквивалентно $p^3 = 5q^3$.
Из этого равенства следует, что $p^3$ делится на 5. Так как 5 — простое число, то и само число $p$ должно делиться на 5.
Запишем $p$ в виде $p = 5k$, где $k$ — целое число. Подставим в уравнение:
$(5k)^3 = 5q^3$
$125k^3 = 5q^3$
Разделим обе части на 5:
$25k^3 = q^3$
Из этого равенства следует, что $q^3$ делится на 25, а значит, $q^3$ делится и на 5. Следовательно, само число $q$ также делится на 5.
Мы получили, что и $p$, и $q$ делятся на 5, что противоречит предположению о несократимости дроби $\frac{p}{q}$.
Таким образом, наше допущение было неверным, и не существует рационального числа, куб которого равен 5.
Ответ: Доказано.

351. Докажите иррациональность числа:

а) $\sqrt[3]{2}$;

б) $\sqrt[3]{n}$, где $n$ — простое число.

а) Докажем иррациональность числа $ \sqrt[3]{2} $ методом от противного. Предположим, что $ \sqrt[3]{2} $ является рациональным числом. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $ \frac{p}{q} $, где $ p $ — целое число, $ q $ — натуральное число, и наибольший общий делитель $ НОД(p, q) = 1 $.
Итак, $ \sqrt[3]{2} = \frac{p}{q} $.
Возведем обе части уравнения в третью степень:
$ (\sqrt[3]{2})^3 = (\frac{p}{q})^3 $
$ 2 = \frac{p^3}{q^3} $
Отсюда следует, что $ p^3 = 2q^3 $.
Из этого равенства видно, что $ p^3 $ является четным числом (так как оно равно произведению 2 на целое число $ q^3 $). Если куб целого числа является четным, то и само число должно быть четным. Следовательно, $ p $ — четное число.
Раз $ p $ — четное, его можно представить в виде $ p = 2k $, где $ k $ — некоторое целое число.
Подставим это выражение для $ p $ в уравнение $ p^3 = 2q^3 $:
$ (2k)^3 = 2q^3 $
$ 8k^3 = 2q^3 $
Разделим обе части на 2:
$ 4k^3 = q^3 $, или $ q^3 = 2(2k^3) $.
Из последнего равенства следует, что $ q^3 $ также является четным числом. А значит, и число $ q $ должно быть четным.
Таким образом, мы получили, что и $ p $, и $ q $ являются четными числами. Это означает, что у них есть общий делитель 2. Но это противоречит нашему первоначальному предположению, что дробь $ \frac{p}{q} $ является несократимой ($ НОД(p, q) = 1 $).
Следовательно, наше исходное предположение о том, что $ \sqrt[3]{2} $ — рациональное число, неверно.
Ответ: число $ \sqrt[3]{2} $ является иррациональным, что и требовалось доказать.

б) Докажем иррациональность числа $ \sqrt[3]{n} $, где $ n $ — простое число, методом от противного. Предположим, что $ \sqrt[3]{n} $ является рациональным числом. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $ \frac{p}{q} $, где $ p $ — целое число, $ q $ — натуральное число, и $ НОД(p, q) = 1 $.
Итак, $ \sqrt[3]{n} = \frac{p}{q} $.
Возведем обе части уравнения в третью степень:
$ (\sqrt[3]{n})^3 = (\frac{p}{q})^3 $
$ n = \frac{p^3}{q^3} $
Отсюда получаем равенство: $ p^3 = nq^3 $.
Из этого равенства следует, что $ p^3 $ делится на простое число $ n $. Согласно основной теореме арифметики, если куб целого числа делится на простое число $ n $, то и само число должно делиться на $ n $. В нашем случае $ p^3 $ делится на $ n $, значит, и само число $ p $ должно делиться на $ n $.
Следовательно, $ p $ можно представить в виде $ p = nk $ для некоторого целого числа $ k $.
Подставим это выражение в уравнение $ p^3 = nq^3 $:
$ (nk)^3 = nq^3 $
$ n^3k^3 = nq^3 $
Поскольку $ n $ — простое число, $ n \neq 0 $, мы можем разделить обе части уравнения на $ n $:
$ n^2k^3 = q^3 $.
Из этого равенства следует, что $ q^3 $ делится на $ n $ (так как $ q^3 = n \cdot (nk^3) $). Рассуждая аналогично, как и для $ p $, мы заключаем, что и само число $ q $ должно делиться на $ n $.
Мы получили, что и $ p $, и $ q $ делятся на простое число $ n $. Это означает, что у них есть общий делитель $ n $, который больше 1. Но это противоречит нашему первоначальному условию, что дробь $ \frac{p}{q} $ является несократимой ($ НОД(p, q) = 1 $).
Таким образом, наше предположение о рациональности $ \sqrt[3]{n} $ было неверным.
Ответ: число $ \sqrt[3]{n} $, где $ n $ — простое число, является иррациональным, что и требовалось доказать.

352. Является ли рациональным число:

а) $\sqrt{4}$;

б) $\sqrt[3]{64}$;

в) $\sqrt[3]{5}$;

г) $\sqrt[4]{64}$?

Для решения этой задачи необходимо определить, можно ли представить каждое из данных чисел в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ — целое число, а $n$ — натуральное число. Корень $k$-ой степени из целого числа является рациональным только в том случае, если подкоренное выражение является точной $k$-ой степенью другого целого числа.

а) Рассмотрим число $\sqrt{4}$.

Квадратный корень из 4 равен 2, потому что $2^2 = 4$. Число 2 является целым. Любое целое число является рациональным, так как его можно представить в виде дроби со знаменателем 1. В данном случае, $2 = \frac{2}{1}$.

Ответ: да, является.

б) Рассмотрим число $\sqrt[3]{64}$.

Кубический корень из 64 равен 4, потому что $4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64$. Число 4 является целым, а следовательно, и рациональным, так как его можно записать в виде дроби $4 = \frac{4}{1}$.

Ответ: да, является.

в) Рассмотрим число $\sqrt[3]{5}$.

Чтобы это число было рациональным, число 5 должно быть точным кубом какого-либо целого числа. Проверим ближайшие целые числа: $1^3 = 1$ и $2^3 = 8$. Поскольку $1 < 5 < 8$, кубический корень из 5 не является целым числом. Следовательно, $\sqrt[3]{5}$ — это иррациональное число.

Ответ: нет, не является.

г) Рассмотрим число $\sqrt[4]{64}$.

Чтобы это число было рациональным, число 64 должно быть точной четвертой степенью какого-либо целого числа. Проверим ближайшие целые числа: $2^4 = 16$ и $3^4 = 81$. Поскольку $16 < 64 < 81$, корень четвертой степени из 64 не является целым числом. Следовательно, $\sqrt[4]{64}$ — это иррациональное число. Это также можно увидеть, упростив выражение: $\sqrt[4]{64} = \sqrt[4]{2^6} = 2^{\frac{6}{4}} = 2^{\frac{3}{2}} = \sqrt{2^3} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$. Так как $\sqrt{2}$ является иррациональным числом, то и произведение $2\sqrt{2}$ также иррационально.

Ответ: нет, не является.

353. Для каждого из чисел 7; 10 найдите:

а) наибольшее натуральное число, куб которого меньше данного числа;

б) наименьшее натуральное число, куб которого больше данного числа;

в) наибольшее натуральное число, четвёртая степень которого меньше данного числа;

г) наименьшее натуральное число, четвёртая степень которого больше данного числа.

Для числа 7:

а) Требуется найти наибольшее натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство $n^3 < 7$.

Начнем перебирать натуральные числа:

Если $n=1$, то $1^3 = 1$. Неравенство $1 < 7$ верно.

Если $n=2$, то $2^3 = 8$. Неравенство $8 < 7$ неверно.

Так как функция $y=n^3$ возрастающая, для всех $n \ge 2$ куб числа будет больше или равен 8, а значит, больше 7. Следовательно, наибольшее натуральное число, удовлетворяющее условию, это 1.

Ответ: 1

б) Требуется найти наименьшее натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство $n^3 > 7$.

Начнем перебирать натуральные числа:

Если $n=1$, то $1^3 = 1$. Неравенство $1 > 7$ неверно.

Если $n=2$, то $2^3 = 8$. Неравенство $8 > 7$ верно.

Поскольку мы ищем наименьшее такое число, и мы нашли его при первой же проверке, где условие выполнилось, это число 2.

Ответ: 2

в) Требуется найти наибольшее натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство $n^4 < 7$.

Начнем перебирать натуральные числа:

Если $n=1$, то $1^4 = 1$. Неравенство $1 < 7$ верно.

Если $n=2$, то $2^4 = 16$. Неравенство $16 < 7$ неверно.

Для всех $n \ge 2$ четвертая степень числа будет больше или равна 16, а значит, больше 7. Следовательно, наибольшее натуральное число, удовлетворяющее условию, это 1.

Ответ: 1

г) Требуется найти наименьшее натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство $n^4 > 7$.

Начнем перебирать натуральные числа:

Если $n=1$, то $1^4 = 1$. Неравенство $1 > 7$ неверно.

Если $n=2$, то $2^4 = 16$. Неравенство $16 > 7$ верно.

Это первое натуральное число, для которого условие выполняется, значит, оно является наименьшим.

Ответ: 2

Для числа 10:

а) Требуется найти наибольшее натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство $n^3 < 10$.

Начнем перебирать натуральные числа:

Если $n=1$, то $1^3 = 1$. Неравенство $1 < 10$ верно.

Если $n=2$, то $2^3 = 8$. Неравенство $8 < 10$ верно.

Если $n=3$, то $3^3 = 27$. Неравенство $27 < 10$ неверно.

Таким образом, наибольшее натуральное число, удовлетворяющее условию, это 2.

Ответ: 2

б) Требуется найти наименьшее натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство $n^3 > 10$.

Начнем перебирать натуральные числа:

Если $n=1$, то $1^3 = 1$. Неравенство $1 > 10$ неверно.

Если $n=2$, то $2^3 = 8$. Неравенство $8 > 10$ неверно.

Если $n=3$, то $3^3 = 27$. Неравенство $27 > 10$ верно.

Это первое натуральное число, для которого условие выполняется, значит, оно наименьшее.

Ответ: 3

в) Требуется найти наибольшее натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство $n^4 < 10$.

Начнем перебирать натуральные числа:

Если $n=1$, то $1^4 = 1$. Неравенство $1 < 10$ верно.

Если $n=2$, то $2^4 = 16$. Неравенство $16 < 10$ неверно.

Следовательно, наибольшее натуральное число, удовлетворяющее условию, это 1.

Ответ: 1

г) Требуется найти наименьшее натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство $n^4 > 10$.

Начнем перебирать натуральные числа:

Если $n=1$, то $1^4 = 1$. Неравенство $1 > 10$ неверно.

Если $n=2$, то $2^4 = 16$. Неравенство $16 > 10$ верно.

Это первое натуральное число, для которого условие выполняется, следовательно, оно наименьшее.

Ответ: 2