Страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

336. Используя график функции $y=\sqrt[3]{x}$, покажите, что:

а) $\sqrt[3]{10} > \sqrt[3]{5}$;

б) $\sqrt[3]{7} > \sqrt[3]{4}$;

в) $\sqrt[3]{0,5} > \sqrt[3]{0,2}$;

г) $\sqrt[3]{0,9} > \sqrt[3]{0,4}.$

Для решения данной задачи необходимо использовать свойство функции $y = \sqrt[3]{x}$. График этой функции показывает, что она является строго возрастающей на всей своей области определения, то есть для любого $x$ из множества действительных чисел. Свойство возрастающей функции заключается в том, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Иными словами, если взять два числа $x_1$ и $x_2$ такие, что $x_2 > x_1$, то будет выполняться неравенство $f(x_2) > f(x_1)$, то есть $\sqrt[3]{x_2} > \sqrt[3]{x_1}$.

Мы применим это свойство для сравнения чисел в каждом из подпунктов.

а) Требуется сравнить $\sqrt[3]{10}$ и $\sqrt[3]{5}$. Эти выражения являются значениями функции $y = \sqrt[3]{x}$ в точках $x=10$ и $x=5$. Сравним аргументы (подкоренные выражения): $10$ и $5$. Так как $10 > 5$, а функция $y=\sqrt[3]{x}$ возрастающая, то и значение функции в точке $10$ будет больше значения в точке $5$. Следовательно, $\sqrt[3]{10} > \sqrt[3]{5}$.
Ответ: Неравенство верно, так как функция $y = \sqrt[3]{x}$ возрастающая, а $10 > 5$.

б) Сравним $\sqrt[3]{7}$ и $\sqrt[3]{4}$. Это значения функции $y = \sqrt[3]{x}$ для $x=7$ и $x=4$. Сравниваем подкоренные выражения: $7 > 4$. Поскольку функция кубического корня является возрастающей, то из этого следует, что $\sqrt[3]{7} > \sqrt[3]{4}$.
Ответ: Неравенство верно, так как функция $y = \sqrt[3]{x}$ возрастающая, а $7 > 4$.

в) Сравним $\sqrt[3]{0,5}$ и $\sqrt[3]{0,2}$. Это значения функции $y = \sqrt[3]{x}$ при $x=0,5$ и $x=0,2$. Сравниваем аргументы: $0,5 > 0,2$. Так как функция $y = \sqrt[3]{x}$ является возрастающей, то $\sqrt[3]{0,5} > \sqrt[3]{0,2}$.
Ответ: Неравенство верно, так как функция $y = \sqrt[3]{x}$ возрастающая, а $0,5 > 0,2$.

г) Сравним $\sqrt[3]{0,9}$ и $\sqrt[3]{0,4}$. Это значения функции $y = \sqrt[3]{x}$ при $x=0,9$ и $x=0,4$. Сравниваем подкоренные выражения: $0,9 > 0,4$. В силу того, что функция $y = \sqrt[3]{x}$ возрастает на всей области определения, получаем, что $\sqrt[3]{0,9} > \sqrt[3]{0,4}$.
Ответ: Неравенство верно, так как функция $y = \sqrt[3]{x}$ возрастающая, а $0,9 > 0,4$.

337. Доказываем. Докажите неравенство:

a) $ \sqrt[3]{10} > 2; $

б) $ 3 < \sqrt[4]{100}; $

в) $ \sqrt{7} > \sqrt[4]{16}; $

г) $ \sqrt[4]{81} < \sqrt{10}; $

д) $ \sqrt[3]{3} > \sqrt[4]{4}; $

е) $ \sqrt[4]{3} < \sqrt[3]{4}; $

ж) $ \sqrt[5]{2} < \sqrt{5}; $

з) $ \sqrt{7} > \sqrt[4]{20}. $

а) Чтобы доказать неравенство $\sqrt[3]{10} > 2$, возведем обе его части в 3-ю степень. Так как функция $y=x^3$ является возрастающей для всех действительных чисел, знак неравенства сохранится.

Левая часть: $(\sqrt[3]{10})^3 = 10$.

Правая часть: $2^3 = 8$.

Поскольку $10 > 8$, то и исходное неравенство $\sqrt[3]{10} > 2$ является верным.

Ответ: Неравенство доказано.

б) Чтобы доказать неравенство $3 < \sqrt[4]{100}$, возведем обе части в 4-ю степень. Обе части неравенства положительны, а функция $y=x^4$ для положительных чисел является возрастающей, поэтому знак неравенства сохранится.

Левая часть: $3^4 = 81$.

Правая часть: $(\sqrt[4]{100})^4 = 100$.

Поскольку $81 < 100$, то и исходное неравенство $3 < \sqrt[4]{100}$ является верным.

Ответ: Неравенство доказано.

в) Сначала упростим правую часть неравенства $\sqrt{7} > \sqrt[4]{16}$.

$\sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.

Неравенство принимает вид $\sqrt{7} > 2$. Теперь возведем обе части в квадрат. Так как обе части положительны, знак неравенства сохранится.

Левая часть: $(\sqrt{7})^2 = 7$.

Правая часть: $2^2 = 4$.

Поскольку $7 > 4$, исходное неравенство $\sqrt{7} > \sqrt[4]{16}$ является верным.

Ответ: Неравенство доказано.

г) Сначала упростим левую часть неравенства $\sqrt[4]{81} < \sqrt{10}$.

$\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^4} = 3$.

Неравенство принимает вид $3 < \sqrt{10}$. Возведем обе части в квадрат.

Левая часть: $3^2 = 9$.

Правая часть: $(\sqrt{10})^2 = 10$.

Поскольку $9 < 10$, исходное неравенство $\sqrt[4]{81} < \sqrt{10}$ является верным.

Ответ: Неравенство доказано.

д) Для доказательства неравенства $\sqrt[3]{3} > \sqrt[4]{4}$ приведем корни к общему показателю. Наименьшее общее кратное показателей корней 3 и 4 равно 12. Поэтому возведем обе части неравенства в 12-ю степень.

Левая часть: $(\sqrt[3]{3})^{12} = 3^{\frac{12}{3}} = 3^4 = 81$.

Правая часть: $(\sqrt[4]{4})^{12} = 4^{\frac{12}{4}} = 4^3 = 64$.

Поскольку $81 > 64$, исходное неравенство $\sqrt[3]{3} > \sqrt[4]{4}$ является верным.

Ответ: Неравенство доказано.

е) Для доказательства неравенства $\sqrt[4]{3} < \sqrt[3]{4}$ приведем корни к общему показателю 12 (наименьшее общее кратное 4 и 3). Возведем обе части неравенства в 12-ю степень.

Левая часть: $(\sqrt[4]{3})^{12} = 3^{\frac{12}{4}} = 3^3 = 27$.

Правая часть: $(\sqrt[3]{4})^{12} = 4^{\frac{12}{3}} = 4^4 = 256$.

Поскольку $27 < 256$, исходное неравенство $\sqrt[4]{3} < \sqrt[3]{4}$ является верным.

Ответ: Неравенство доказано.

ж) Чтобы доказать неравенство $\sqrt[5]{2} < \sqrt{5}$, приведем корни к общему показателю 10 (наименьшее общее кратное 5 и 2). Возведем обе части в 10-ю степень.

Левая часть: $(\sqrt[5]{2})^{10} = 2^{\frac{10}{5}} = 2^2 = 4$.

Правая часть: $(\sqrt{5})^{10} = 5^{\frac{10}{2}} = 5^5 = 3125$.

Поскольку $4 < 3125$, исходное неравенство $\sqrt[5]{2} < \sqrt{5}$ является верным.

Ответ: Неравенство доказано.

з) Чтобы доказать неравенство $\sqrt{7} > \sqrt[4]{20}$, приведем оба выражения к корню 4-й степени. Для этого представим $\sqrt{7}$ как корень 4-й степени.

$\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}} = 7^{\frac{2}{4}} = \sqrt[4]{7^2} = \sqrt[4]{49}$.

Теперь неравенство можно записать как $\sqrt[4]{49} > \sqrt[4]{20}$.

Так как функция $y=\sqrt[4]{x}$ является возрастающей, и подкоренное выражение слева больше подкоренного выражения справа ($49 > 20$), то неравенство является верным.

Ответ: Неравенство доказано.

338. Сравните числа:

а) $2$ и $\sqrt[3]{7}$;

б) $\sqrt[4]{12}$ и $2$;

в) $\sqrt[3]{3}$ и $1,5$;

г) $\sqrt[4]{75}$ и $3$.

а) Чтобы сравнить числа 2 и $\sqrt[3]{7}$, необходимо привести их к одному виду. Для этого возведем оба числа в третью степень. Поскольку функция $y=x^3$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси, то знак неравенства между результатами будет таким же, как и между исходными числами.
Возводим первое число в куб: $2^3 = 8$.
Возводим второе число в куб: $(\sqrt[3]{7})^3 = 7$.
Теперь сравним полученные результаты: $8 > 7$.
Следовательно, исходное неравенство будет таким же: $2 > \sqrt[3]{7}$.
Ответ: $2 > \sqrt[3]{7}$.

б) Чтобы сравнить числа $\sqrt[4]{12}$ и 2, возведем оба числа в четвертую степень. Функция $y=x^4$ для положительных чисел ($x>0$) является возрастающей, поэтому знак неравенства сохранится.
Возводим первое число в четвертую степень: $(\sqrt[4]{12})^4 = 12$.
Возводим второе число в четвертую степень: $2^4 = 16$.
Сравниваем результаты: $12 < 16$.
Значит, и $\sqrt[4]{12} < 2$.
Ответ: $\sqrt[4]{12} < 2$.

в) Сравним числа $\sqrt[3]{3}$ и 1,5. Для этого возведем оба числа в третью степень.
Возводим первое число в куб: $(\sqrt[3]{3})^3 = 3$.
Возводим второе число в куб. Удобнее представить 1,5 в виде обыкновенной дроби: $1,5 = \frac{3}{2}$.
$(1,5)^3 = (\frac{3}{2})^3 = \frac{3^3}{2^3} = \frac{27}{8}$.
Теперь сравним полученные числа: 3 и $\frac{27}{8}$. Представим 3 в виде дроби со знаменателем 8: $3 = \frac{24}{8}$.
Сравниваем дроби: $\frac{24}{8} < \frac{27}{8}$.
Так как $3 < \frac{27}{8}$, то и $\sqrt[3]{3} < 1,5$.
Ответ: $\sqrt[3]{3} < 1,5$.

г) Для сравнения чисел $\sqrt[4]{75}$ и 3, возведем оба числа в четвертую степень.
Возводим первое число в четвертую степень: $(\sqrt[4]{75})^4 = 75$.
Возводим второе число в четвертую степень: $3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81$.
Сравниваем полученные значения: $75 < 81$.
Следовательно, $\sqrt[4]{75} < 3$.
Ответ: $\sqrt[4]{75} < 3$.

339. Найдите два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число:

а) $\sqrt[3]{3}$;

б) $\sqrt[3]{4}$;

в) $\sqrt[4]{2}$;

г) $\sqrt[4]{3}$.

а) Чтобы найти два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число $\sqrt[3]{3}$, нам нужно найти такое натуральное число $n$, что выполняется неравенство $n < \sqrt[3]{3} < n+1$. Возведем все части неравенства в третью степень: $n^3 < (\sqrt[3]{3})^3 < (n+1)^3$, что равносильно $n^3 < 3 < (n+1)^3$.
Подберем значение $n$, начиная с 1.
Если $n=1$, то $n^3 = 1^3 = 1$.
Следующее натуральное число $n+1=2$, тогда $(n+1)^3 = 2^3 = 8$.
Мы получили неравенство $1 < 3 < 8$, которое является верным.
Следовательно, $1^3 < 3 < 2^3$, откуда $\sqrt[3]{1^3} < \sqrt[3]{3} < \sqrt[3]{2^3}$, то есть $1 < \sqrt[3]{3} < 2$.
Таким образом, число $\sqrt[3]{3}$ заключено между натуральными числами 1 и 2.
Ответ: 1 и 2.

б) Чтобы найти два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число $\sqrt[3]{4}$, нам нужно найти такое натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство $n < \sqrt[3]{4} < n+1$. Возведем все части неравенства в третью степень: $n^3 < (\sqrt[3]{4})^3 < (n+1)^3$, что равносильно $n^3 < 4 < (n+1)^3$.
Подберем значение $n$.
Если $n=1$, то $n^3 = 1^3 = 1$.
Следующее натуральное число $n+1=2$, тогда $(n+1)^3 = 2^3 = 8$.
Мы получили верное неравенство $1 < 4 < 8$.
Следовательно, $1^3 < 4 < 2^3$, откуда $\sqrt[3]{1^3} < \sqrt[3]{4} < \sqrt[3]{2^3}$, то есть $1 < \sqrt[3]{4} < 2$.
Таким образом, число $\sqrt[3]{4}$ заключено между натуральными числами 1 и 2.
Ответ: 1 и 2.

в) Чтобы найти два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число $\sqrt[4]{2}$, нужно найти такое натуральное число $n$, для которого $n < \sqrt[4]{2} < n+1$. Возведем все части этого двойного неравенства в четвертую степень: $n^4 < (\sqrt[4]{2})^4 < (n+1)^4$, что равносильно $n^4 < 2 < (n+1)^4$.
Подберем значение $n$.
Если $n=1$, то $n^4 = 1^4 = 1$.
Следующее натуральное число $n+1=2$, тогда $(n+1)^4 = 2^4 = 16$.
Мы получили верное неравенство $1 < 2 < 16$.
Следовательно, $1^4 < 2 < 2^4$, откуда $\sqrt[4]{1^4} < \sqrt[4]{2} < \sqrt[4]{2^4}$, то есть $1 < \sqrt[4]{2} < 2$.
Таким образом, число $\sqrt[4]{2}$ заключено между натуральными числами 1 и 2.
Ответ: 1 и 2.

г) Чтобы найти два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число $\sqrt[4]{3}$, нужно найти такое натуральное число $n$, для которого $n < \sqrt[4]{3} < n+1$. Возведем все части неравенства в четвертую степень: $n^4 < (\sqrt[4]{3})^4 < (n+1)^4$, что равносильно $n^4 < 3 < (n+1)^4$.
Подберем значение $n$.
Если $n=1$, то $n^4 = 1^4 = 1$.
Следующее натуральное число $n+1=2$, тогда $(n+1)^4 = 2^4 = 16$.
Мы получили верное неравенство $1 < 3 < 16$.
Следовательно, $1^4 < 3 < 2^4$, откуда $\sqrt[4]{1^4} < \sqrt[4]{3} < \sqrt[4]{2^4}$, то есть $1 < \sqrt[4]{3} < 2$.
Таким образом, число $\sqrt[4]{3}$ заключено между натуральными числами 1 и 2.
Ответ: 1 и 2.

340. Сравните натуральные числа m ($m \ge 2$) и n ($n \ge 2$), если:

а) $\sqrt[m]{5} > \sqrt[n]{5}$;

б) $\sqrt[m]{8} < \sqrt[n]{8}$;

в) $\sqrt[m]{0,2} > \sqrt[n]{0,2}$;

г) $\sqrt[m]{0,3} < \sqrt[n]{0,3}$.

Для решения данной задачи мы будем использовать свойства показательных функций и степеней. Основная идея заключается в том, чтобы привести неравенства к виду, где сравниваются показатели степеней.

а)

Дано неравенство $\sqrt[m]{5} > \sqrt[n]{5}$.

Поскольку $m$ и $n$ — натуральные числа, большие или равные 2, мы можем возвести обе части неравенства в степень $mn$, которая является положительным числом. Знак неравенства при этом не изменится.

$(\sqrt[m]{5})^{mn} > (\sqrt[n]{5})^{mn}$

Используя свойство степени $(a^b)^c = a^{bc}$, а также представление корня в виде степени $\sqrt[k]{a} = a^{1/k}$, получаем:

$(5^{1/m})^{mn} > (5^{1/n})^{mn}$

$5^{n} > 5^{m}$

Рассмотрим показательную функцию $y = 5^x$. Так как основание $5 > 1$, функция является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Следовательно, из неравенства $5^n > 5^m$ следует, что $n > m$.

Ответ: $m < n$.

б)

Дано неравенство $\sqrt[m]{8} < \sqrt[n]{8}$.

Возведем обе части неравенства в положительную степень $mn$:

$(\sqrt[m]{8})^{mn} < (\sqrt[n]{8})^{mn}$

$(8^{1/m})^{mn} < (8^{1/n})^{mn}$

$8^{n} < 8^{m}$

Поскольку основание $8 > 1$, показательная функция $y = 8^x$ является возрастающей. Следовательно, из $8^n < 8^m$ следует, что $n < m$.

Ответ: $m > n$.

в)

Дано неравенство $\sqrt[m]{0,2} > \sqrt[n]{0,2}$.

Возведем обе части неравенства в положительную степень $mn$:

$(\sqrt[m]{0,2})^{mn} > (\sqrt[n]{0,2})^{mn}$

$(0,2^{1/m})^{mn} > (0,2^{1/n})^{mn}$

$0,2^{n} > 0,2^{m}$

Рассмотрим показательную функцию $y = 0,2^x$. Так как основание $0 < 0,2 < 1$, функция является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента (знак неравенства для аргументов меняется на противоположный). Следовательно, из $0,2^n > 0,2^m$ следует, что $n < m$.

Ответ: $m > n$.

г)

Дано неравенство $\sqrt[m]{0,3} < \sqrt[n]{0,3}$.

Возведем обе части неравенства в положительную степень $mn$:

$(\sqrt[m]{0,3})^{mn} < (\sqrt[n]{0,3})^{mn}$

$(0,3^{1/m})^{mn} < (0,3^{1/n})^{mn}$

$0,3^{n} < 0,3^{m}$

Поскольку основание $0 < 0,3 < 1$, показательная функция $y = 0,3^x$ является убывающей. Следовательно, знак неравенства для аргументов меняется на противоположный, и из $0,3^n < 0,3^m$ следует, что $n > m$.

Ответ: $m < n$.

341. Сравните с единицей положительное число a, если:

a) $\sqrt[3]{a} > \sqrt[4]{a}$;

б) $\sqrt[3]{a} < \sqrt[4]{a}$;

в) $\sqrt[5]{a} > \sqrt[4]{a}$;

г) $\sqrt[6]{a} < \sqrt[5]{a}$.

Для решения этой задачи мы будем преобразовывать данные неравенства. По условию, число $a$ положительное ($a > 0$), поэтому при возведении обеих частей неравенства в натуральную степень знак неравенства не меняется. Также, поскольку в неравенствах используются строгие знаки ($>$ или <), то $a \ne 1$.

а) Дано неравенство $\sqrt[3]{a} > \sqrt[4]{a}$.

Чтобы избавиться от корней, возведем обе части неравенства в степень, равную наименьшему общему кратному (НОК) показателей корней 3 и 4. НОК(3, 4) = 12.

Возводим обе части в 12-ю степень:

$(\sqrt[3]{a})^{12} > (\sqrt[4]{a})^{12}$

Используя свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$ и определение корня $\sqrt[k]{x} = x^{1/k}$, получаем:

$(a^{1/3})^{12} > (a^{1/4})^{12}$

$a^{12/3} > a^{12/4}$

$a^4 > a^3$

Поскольку $a > 0$, то и $a^3 > 0$. Разделим обе части неравенства на $a^3$:

$\frac{a^4}{a^3} > \frac{a^3}{a^3}$

$a > 1$

Следовательно, число $a$ больше единицы.

Ответ: $a > 1$.

б) Дано неравенство $\sqrt[3]{a} < \sqrt[4]{a}$.

Аналогично пункту а), возведем обе части неравенства в 12-ю степень (НОК(3, 4) = 12).

$(\sqrt[3]{a})^{12} < (\sqrt[4]{a})^{12}$

$a^{12/3} < a^{12/4}$

$a^4 < a^3$

Разделим обе части неравенства на $a^3$ (так как $a > 0$, $a^3 > 0$, знак неравенства сохраняется):

$\frac{a^4}{a^3} < \frac{a^3}{a^3}$

$a < 1$

Учитывая, что по условию $a$ - положительное число, получаем, что число $a$ меньше единицы.

Ответ: $0 < a < 1$.

в) Дано неравенство $\sqrt[5]{a} > \sqrt[4]{a}$.

Найдем НОК показателей корней 5 и 4. НОК(5, 4) = 20.

Возводим обе части неравенства в 20-ю степень:

$(\sqrt[5]{a})^{20} > (\sqrt[4]{a})^{20}$

$a^{20/5} > a^{20/4}$

$a^4 > a^5$

Разделим обе части неравенства на $a^4$ (так как $a > 0$, $a^4 > 0$, знак неравенства сохраняется):

$\frac{a^4}{a^4} > \frac{a^5}{a^4}$

$1 > a$

С учетом условия $a > 0$, получаем, что число $a$ меньше единицы.

Ответ: $0 < a < 1$.

г) Дано неравенство $\sqrt[6]{a} < \sqrt[5]{a}$.

Найдем НОК показателей корней 6 и 5. НОК(6, 5) = 30.

Возводим обе части неравенства в 30-ю степень:

$(\sqrt[6]{a})^{30} < (\sqrt[5]{a})^{30}$

$a^{30/6} < a^{30/5}$

$a^5 < a^6$

Разделим обе части неравенства на $a^5$ (так как $a > 0$, $a^5 > 0$, знак неравенства сохраняется):

$\frac{a^5}{a^5} < \frac{a^6}{a^5}$

$1 < a$

Следовательно, число $a$ больше единицы.

Ответ: $a > 1$.

342. Каким может быть натуральное число n ($n \geq 2$), если:

а) $\sqrt[n]{16} \leq 4$;

б) $\sqrt[n]{16} > 4$?

а) $\sqrt[n]{16} \le 4$

Требуется найти все натуральные числа $n \ge 2$, для которых выполняется неравенство $\sqrt[n]{16} \le 4$.

Для решения преобразуем неравенство. Представим корень n-ой степени в виде степени с рациональным показателем $1/n$: $16^{1/n} \le 4$

Теперь приведем обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что $16 = 4^2$. Подставим это в неравенство: $(4^2)^{1/n} \le 4^1$

Используя свойство степеней $(a^b)^c = a^{bc}$, упростим выражение в левой части: $4^{2/n} \le 4^1$

Так как основание степени $4$ больше единицы ($4 > 1$), то для показателей степеней будет выполняться неравенство с тем же знаком: $\frac{2}{n} \le 1$

По условию задачи, $n$ — натуральное число и $n \ge 2$, следовательно, $n$ является положительным числом. Мы можем умножить обе части неравенства на $n$, сохранив знак неравенства: $2 \le n$

Итак, мы получили, что неравенство выполняется при $n \ge 2$. Это полностью совпадает с данным в задаче условием на $n$. Таким образом, неравенство справедливо для всех натуральных чисел $n$, которые больше или равны 2.

Ответ: $n$ может быть любым натуральным числом, удовлетворяющим условию $n \ge 2$.

б) $\sqrt[n]{16} > 4$

Требуется найти все натуральные числа $n \ge 2$, для которых выполняется неравенство $\sqrt[n]{16} > 4$.

Выполним те же преобразования, что и в пункте а): $16^{1/n} > 4$ $(4^2)^{1/n} > 4^1$ $4^{2/n} > 4^1$

Поскольку основание степени $4$ больше единицы ($4 > 1$), то для показателей степеней будет выполняться неравенство с тем же знаком: $\frac{2}{n} > 1$

Умножим обе части на $n$. Так как $n \ge 2$, то $n$ — положительное число, и знак неравенства не изменится: $2 > n$ или $n < 2$

Теперь нам нужно найти натуральные числа $n$, которые удовлетворяют двум условиям одновременно:

1. $n \ge 2$ (по условию задачи)
2. $n < 2$ (из решения неравенства)

Не существует натуральных чисел, которые были бы одновременно больше или равны 2 и строго меньше 2. Данная система условий не имеет решений в натуральных числах.

Ответ: таких натуральных чисел $n$, удовлетворяющих условию $n \ge 2$, не существует.

343. Найдите область определения функции:

а) $y = \sqrt{3x}$;

б) $y = \sqrt[3]{-5x}$;

в) $y = \sqrt[4]{2x-1}$;

г) $y = \sqrt[5]{4-5x}$.

а) Дана функция $y = \sqrt{3x}$.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция определена. Так как функция содержит корень четной степени (квадратный корень, показатель степени 2), то подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:

$3x \ge 0$

Разделим обе части неравенства на положительное число 3, знак неравенства при этом не меняется:

$x \ge 0$

Таким образом, область определения данной функции — это все действительные числа, большие или равные нулю.

Ответ: $[0, +\infty)$.

б) Дана функция $y = \sqrt[3]{-5x}$.

Функция содержит корень нечетной степени (кубический корень, показатель степени 3). Корень нечетной степени определен для любого действительного числа, поэтому подкоренное выражение может быть как положительным, так и отрицательным, и равным нулю.

Никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается, так как выражение $-5x$ определено для любого действительного значения $x$.

Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty, +\infty)$.

в) Дана функция $y = \sqrt[4]{2x - 1}$.

Функция содержит корень четной степени (показатель степени 4). Аналогично пункту а), подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Составим и решим неравенство:

$2x - 1 \ge 0$

Перенесем -1 в правую часть, изменив знак:

$2x \ge 1$

Разделим обе части на 2:

$x \ge \frac{1}{2}$

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, большие или равные $\frac{1}{2}$.

Ответ: $[\frac{1}{2}, +\infty)$.

г) Дана функция $y = \sqrt[5]{4 - 5x}$.

Функция содержит корень нечетной степени (показатель степени 5). Корень нечетной степени определен для любого действительного подкоренного выражения.

Выражение $4 - 5x$ определено для любого действительного значения $x$, поэтому никаких ограничений на переменную $x$ не накладывается.

Следовательно, область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty, +\infty)$.

344. Постройте график функции:

а) $y = \sqrt{x};$

б) $y = -\sqrt{x};$

в) $y = \sqrt{-x};$

г) $y = -\sqrt{-x};$

д) $y = \sqrt{|x|};$

е) $y = \sqrt[3]{x}, x \ge 0;$

ж) $y = \sqrt[3]{|x|};$

з) $y = \sqrt[4]{x};$

и) $y = \sqrt[4]{-x};$

к) $y = \sqrt[4]{|x|}.$

а) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x}$.
Область определения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, поэтому $x \ge 0$. Таким образом, область определения $D(y) = [0; +\infty)$.
Область значений: значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно, поэтому $y \ge 0$. Таким образом, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.
Для построения графика найдем координаты нескольких ключевых точек:
- если $x=0$, то $y=\sqrt{0}=0$; точка $(0,0)$.
- если $x=1$, то $y=\sqrt{1}=1$; точка $(1,1)$.
- если $x=4$, то $y=\sqrt{4}=2$; точка $(4,2)$.
- если $x=9$, то $y=\sqrt{9}=3$; точка $(9,3)$.
Соединяя эти точки плавной кривой, получаем график функции. Он представляет собой ветвь параболы, которая является верхней половиной параболы $x=y^2$. График расположен в I координатной четверти.
Ответ: График функции представляет собой ветвь параболы, начинающуюся в точке $(0,0)$ и расположенную в первой координатной четверти.

б) Рассмотрим функцию $y = -\sqrt{x}$.
Область определения: как и для $y = \sqrt{x}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x \ge 0$. $D(y) = [0; +\infty)$.
Область значений: поскольку $\sqrt{x} \ge 0$, то $-\sqrt{x} \le 0$. Таким образом, $y \le 0$. $E(y) = (-\infty; 0]$.
График этой функции можно получить из графика функции $y = \sqrt{x}$ (из пункта а)) путем симметричного отражения относительно оси Ox.
Ключевые точки:
- если $x=0$, то $y=-\sqrt{0}=0$; точка $(0,0)$.
- если $x=1$, то $y=-\sqrt{1}=-1$; точка $(1,-1)$.
- если $x=4$, то $y=-\sqrt{4}=-2$; точка $(4,-2)$.
График представляет собой ветвь параболы, расположенную в IV координатной четверти.
Ответ: График функции является ветвью параболы, начинающейся в точке $(0,0)$ и расположенной в четвертой координатной четверти. Он симметричен графику $y=\sqrt{x}$ относительно оси Ox.

в) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{-x}$.
Область определения: подкоренное выражение $-x$ должно быть неотрицательным: $-x \ge 0$, что равносильно $x \le 0$. $D(y) = (-\infty; 0]$.
Область значений: значение арифметического квадратного корня неотрицательно, $y \ge 0$. $E(y) = [0; +\infty)$.
График этой функции можно получить из графика функции $y = \sqrt{x}$ (из пункта а)) путем симметричного отражения относительно оси Oy.
Ключевые точки:
- если $x=0$, то $y=\sqrt{-0}=0$; точка $(0,0)$.
- если $x=-1$, то $y=\sqrt{-(-1)}=\sqrt{1}=1$; точка $(-1,1)$.
- если $x=-4$, то $y=\sqrt{-(-4)}=\sqrt{4}=2$; точка $(-4,2)$.
График представляет собой ветвь параболы, расположенную во II координатной четверти.
Ответ: График функции является ветвью параболы, начинающейся в точке $(0,0)$ и расположенной во второй координатной четверти. Он симметричен графику $y=\sqrt{x}$ относительно оси Oy.

г) Рассмотрим функцию $y = -\sqrt{-x}$.
Область определения: $-x \ge 0$, откуда $x \le 0$. $D(y) = (-\infty; 0]$.
Область значений: $\sqrt{-x} \ge 0$, следовательно $-\sqrt{-x} \le 0$, то есть $y \le 0$. $E(y) = (-\infty; 0]$.
График этой функции можно получить из графика $y = \sqrt{x}$ (из пункта а)) симметричным отражением относительно начала координат. Это также можно получить, отразив график $y = \sqrt{-x}$ (из пункта в)) относительно оси Ox.
Ключевые точки:
- если $x=0$, то $y=-\sqrt{-0}=0$; точка $(0,0)$.
- если $x=-1$, то $y=-\sqrt{-(-1)}=-1$; точка $(-1,-1)$.
- если $x=-4$, то $y=-\sqrt{-(-4)}=-2$; точка $(-4,-2)$.
График представляет собой ветвь параболы, расположенную в III координатной четверти.
Ответ: График функции является ветвью параболы, начинающейся в точке $(0,0)$ и расположенной в третьей координатной четверти. Он симметричен графику $y=\sqrt{x}$ относительно начала координат.

д) Рассмотрим функцию $y = \sqrt{|x|}$.
Область определения: выражение $|x| \ge 0$ для любого действительного $x$. Поэтому $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: $y \ge 0$, так как корень арифметический. $E(y) = [0; +\infty)$.
Функция является четной, так как $y(-x) = \sqrt{|-x|} = \sqrt{|x|} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy.
Построение графика можно осуществить, раскрыв модуль:
- При $x \ge 0$, $|x|=x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{x}$. Это график из пункта а).
- При $x < 0$, $|x|=-x$, и функция принимает вид $y = \sqrt{-x}$. Это график из пункта в).
Таким образом, для построения графика нужно объединить графики функций $y=\sqrt{x}$ (для $x \ge 0$) и $y=\sqrt{-x}$ (для $x < 0$).
Ответ: График функции состоит из двух ветвей парабол, симметричных относительно оси Oy, выходящих из точки $(0,0)$ и расположенных в первой и второй координатных четвертях.

е) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[3]{x}$ при условии $x \ge 0$.
Область определения: задана условием $x \ge 0$. $D(y) = [0; +\infty)$.
Область значений: если $x \ge 0$, то и $\sqrt[3]{x} \ge 0$. $E(y) = [0; +\infty)$.
Для построения графика найдем координаты нескольких точек:
- если $x=0$, то $y=\sqrt[3]{0}=0$; точка $(0,0)$.
- если $x=1$, то $y=\sqrt[3]{1}=1$; точка $(1,1)$.
- если $x=8$, то $y=\sqrt[3]{8}=2$; точка $(8,2)$.
График представляет собой ветвь кубической параболы $x=y^3$, расположенную в I координатной четверти.
Ответ: График — ветвь кубической параболы, выходящая из начала координат и расположенная в первой координатной четверти.

ж) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[3]{|x|}$.
Область определения: $|x|$ определен для любого действительного $x$, и кубический корень также определен для любого неотрицательного числа. $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: поскольку $|x| \ge 0$, то $\sqrt[3]{|x|} \ge 0$. $E(y) = [0; +\infty)$.
Функция является четной, так как $y(-x) = \sqrt[3]{|-x|} = \sqrt[3]{|x|} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси Oy.
Раскроем модуль:
- При $x \ge 0$, $|x|=x$, и функция принимает вид $y = \sqrt[3]{x}$.
- При $x < 0$, $|x|=-x$, и функция принимает вид $y = \sqrt[3]{-x}$.
График $y=\sqrt[3]{-x}$ для $x<0$ является зеркальным отражением графика $y=\sqrt[3]{x}$ для $x>0$ относительно оси Oy. График состоит из ветви $y = \sqrt[3]{x}$ в первой четверти и ее отражения во второй четверти.
Ответ: График функции состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси Oy, выходящих из точки $(0,0)$ и расположенных в первой и второй координатных четвертях. Ветвь в первой четверти — это график $y=\sqrt[3]{x}$.

з) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[4]{x}$.
Область определения: корень четной (4-й) степени определен для неотрицательных подкоренных выражений, поэтому $x \ge 0$. $D(y) = [0; +\infty)$.
Область значений: значение корня четной степени неотрицательно, $y \ge 0$. $E(y) = [0; +\infty)$.
Для построения графика найдем координаты ключевых точек:
- если $x=0$, то $y=\sqrt[4]{0}=0$; точка $(0,0)$.
- если $x=1$, то $y=\sqrt[4]{1}=1$; точка $(1,1)$.
- если $x=16$, то $y=\sqrt[4]{16}=2$; точка $(16,2)$.
График похож на график $y=\sqrt{x}$, но при $x>1$ он "прижимается" к оси Ox сильнее, то есть растет медленнее. График расположен в I координатной четверти.
Ответ: График функции — это ветвь кривой, выходящая из начала координат, расположенная в первой координатной четверти и возрастающая медленнее, чем $y=\sqrt{x}$.

и) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[4]{-x}$.
Область определения: $-x \ge 0$, что равносильно $x \le 0$. $D(y) = (-\infty; 0]$.
Область значений: $y \ge 0$. $E(y) = [0; +\infty)$.
График этой функции можно получить из графика функции $y = \sqrt[4]{x}$ (из пункта з)) путем симметричного отражения относительно оси Oy.
Ключевые точки:
- если $x=0$, то $y=\sqrt[4]{0}=0$; точка $(0,0)$.
- если $x=-1$, то $y=\sqrt[4]{-(-1)}=1$; точка $(-1,1)$.
- если $x=-16$, то $y=\sqrt[4]{-(-16)}=2$; точка $(-16,2)$.
График расположен во II координатной четверти.
Ответ: График функции — это ветвь кривой, выходящая из начала координат, расположенная во второй координатной четверти и симметричная графику $y=\sqrt[4]{x}$ относительно оси Oy.

к) Рассмотрим функцию $y = \sqrt[4]{|x|}$.
Область определения: $|x| \ge 0$ для любого $x$, поэтому $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
Область значений: $y \ge 0$. $E(y) = [0; +\infty)$.
Функция является четной, так как $y(-x) = \sqrt[4]{|-x|} = \sqrt[4]{|x|} = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси Oy.
Раскроем модуль:
- При $x \ge 0$, $|x|=x$, и функция принимает вид $y = \sqrt[4]{x}$. Это график из пункта з).
- При $x < 0$, $|x|=-x$, и функция принимает вид $y = \sqrt[4]{-x}$. Это график из пункта и).
График состоит из объединения графиков $y=\sqrt[4]{x}$ для $x \ge 0$ и $y=\sqrt[4]{-x}$ для $x < 0$.
Ответ: График функции состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси Oy, выходящих из точки $(0,0)$ и расположенных в первой и второй координатных четвертях. Ветвь в первой четверти — это график $y=\sqrt[4]{x}$.