Номер 339, страница 101 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

339. Найдите два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число:

а) $\sqrt[3]{3}$;

б) $\sqrt[3]{4}$;

в) $\sqrt[4]{2}$;

г) $\sqrt[4]{3}$.

а) Чтобы найти два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число $\sqrt[3]{3}$, нам нужно найти такое натуральное число $n$, что выполняется неравенство $n < \sqrt[3]{3} < n+1$. Возведем все части неравенства в третью степень: $n^3 < (\sqrt[3]{3})^3 < (n+1)^3$, что равносильно $n^3 < 3 < (n+1)^3$.
Подберем значение $n$, начиная с 1.
Если $n=1$, то $n^3 = 1^3 = 1$.
Следующее натуральное число $n+1=2$, тогда $(n+1)^3 = 2^3 = 8$.
Мы получили неравенство $1 < 3 < 8$, которое является верным.
Следовательно, $1^3 < 3 < 2^3$, откуда $\sqrt[3]{1^3} < \sqrt[3]{3} < \sqrt[3]{2^3}$, то есть $1 < \sqrt[3]{3} < 2$.
Таким образом, число $\sqrt[3]{3}$ заключено между натуральными числами 1 и 2.
Ответ: 1 и 2.

б) Чтобы найти два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число $\sqrt[3]{4}$, нам нужно найти такое натуральное число $n$, для которого выполняется неравенство $n < \sqrt[3]{4} < n+1$. Возведем все части неравенства в третью степень: $n^3 < (\sqrt[3]{4})^3 < (n+1)^3$, что равносильно $n^3 < 4 < (n+1)^3$.
Подберем значение $n$.
Если $n=1$, то $n^3 = 1^3 = 1$.
Следующее натуральное число $n+1=2$, тогда $(n+1)^3 = 2^3 = 8$.
Мы получили верное неравенство $1 < 4 < 8$.
Следовательно, $1^3 < 4 < 2^3$, откуда $\sqrt[3]{1^3} < \sqrt[3]{4} < \sqrt[3]{2^3}$, то есть $1 < \sqrt[3]{4} < 2$.
Таким образом, число $\sqrt[3]{4}$ заключено между натуральными числами 1 и 2.
Ответ: 1 и 2.

в) Чтобы найти два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число $\sqrt[4]{2}$, нужно найти такое натуральное число $n$, для которого $n < \sqrt[4]{2} < n+1$. Возведем все части этого двойного неравенства в четвертую степень: $n^4 < (\sqrt[4]{2})^4 < (n+1)^4$, что равносильно $n^4 < 2 < (n+1)^4$.
Подберем значение $n$.
Если $n=1$, то $n^4 = 1^4 = 1$.
Следующее натуральное число $n+1=2$, тогда $(n+1)^4 = 2^4 = 16$.
Мы получили верное неравенство $1 < 2 < 16$.
Следовательно, $1^4 < 2 < 2^4$, откуда $\sqrt[4]{1^4} < \sqrt[4]{2} < \sqrt[4]{2^4}$, то есть $1 < \sqrt[4]{2} < 2$.
Таким образом, число $\sqrt[4]{2}$ заключено между натуральными числами 1 и 2.
Ответ: 1 и 2.

г) Чтобы найти два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число $\sqrt[4]{3}$, нужно найти такое натуральное число $n$, для которого $n < \sqrt[4]{3} < n+1$. Возведем все части неравенства в четвертую степень: $n^4 < (\sqrt[4]{3})^4 < (n+1)^4$, что равносильно $n^4 < 3 < (n+1)^4$.
Подберем значение $n$.
Если $n=1$, то $n^4 = 1^4 = 1$.
Следующее натуральное число $n+1=2$, тогда $(n+1)^4 = 2^4 = 16$.
Мы получили верное неравенство $1 < 3 < 16$.
Следовательно, $1^4 < 3 < 2^4$, откуда $\sqrt[4]{1^4} < \sqrt[4]{3} < \sqrt[4]{2^4}$, то есть $1 < \sqrt[4]{3} < 2$.
Таким образом, число $\sqrt[4]{3}$ заключено между натуральными числами 1 и 2.
Ответ: 1 и 2.