Номер 332, страница 100 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

332. а) $y = \sqrt[3]{x}$;

для $x \geq 0$.

б) $y = \sqrt[4]{x}$;

в) $y = \sqrt[5]{x}$;

г) $y = \sqrt[6]{x}$

а) Для того чтобы найти производную функции $y = \sqrt[3]{x}$ при $x \ge 0$, представим ее в виде степенной функции: $y = x^{1/3}$.

Далее воспользуемся формулой производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

Применяя эту формулу, получаем:

$y' = (x^{1/3})' = \frac{1}{3}x^{1/3 - 1} = \frac{1}{3}x^{-2/3}$.

Результат можно записать в виде корня:

$y' = \frac{1}{3x^{2/3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$.

б) Найдем производную функции $y = \sqrt[4]{x}$.

Представим функцию в виде степени: $y = x^{1/4}$.

Используем формулу для производной степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$:

$y' = (x^{1/4})' = \frac{1}{4}x^{1/4 - 1} = \frac{1}{4}x^{-3/4}$.

Перепишем ответ, используя знак корня:

$y' = \frac{1}{4x^{3/4}} = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

в) Найдем производную функции $y = \sqrt[5]{x}$.

Перепишем функцию в степенном виде: $y = x^{1/5}$.

Применим правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$:

$y' = (x^{1/5})' = \frac{1}{5}x^{1/5 - 1} = \frac{1}{5}x^{-4/5}$.

Запишем результат в виде корня:

$y' = \frac{1}{5x^{4/5}} = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$.

г) Найдем производную функции $y = \sqrt[6]{x}$.

Представим функцию как степень: $y = x^{1/6}$.

Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$:

$y' = (x^{1/6})' = \frac{1}{6}x^{1/6 - 1} = \frac{1}{6}x^{-5/6}$.

Перепишем результат с использованием знака корня:

$y' = \frac{1}{6x^{5/6}} = \frac{1}{6\sqrt[6]{x^5}}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{6\sqrt[6]{x^5}}$.