Номер 326, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

326. a) $\sqrt[3]{\frac{8x^3y^6}{27a^{12}b^9}}$;

б) $\sqrt[4]{\frac{16a^{16}b^{12}}{81x^{24}b^4}}$.

а)

Для того чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{\frac{8x^3y^6}{27a^{12}b^9}}$, воспользуемся свойством корня из дроби, которое гласит, что корень из дроби равен дроби из корней числителя и знаменателя: $\sqrt[n]{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt[n]{A}}{\sqrt[n]{B}}$.

$\sqrt[3]{\frac{8x^3y^6}{27a^{12}b^9}} = \frac{\sqrt[3]{8x^3y^6}}{\sqrt[3]{27a^{12}b^9}}$

Теперь извлечем кубический корень из числителя и знаменателя по отдельности. Для этого используем свойство корня из произведения $\sqrt[n]{ABC} = \sqrt[n]{A}\sqrt[n]{B}\sqrt[n]{C}$ и правило извлечения корня из степени $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$.

Упростим числитель:

$\sqrt[3]{8x^3y^6} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{x^3} \cdot \sqrt[3]{y^6} = 2 \cdot x^{3/3} \cdot y^{6/3} = 2xy^2$

Упростим знаменатель:

$\sqrt[3]{27a^{12}b^9} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{a^{12}} \cdot \sqrt[3]{b^9} = 3 \cdot a^{12/3} \cdot b^{9/3} = 3a^4b^3$

Теперь объединим полученные выражения в дробь:

$\frac{2xy^2}{3a^4b^3}$

Ответ: $\frac{2xy^2}{3a^4b^3}$

б)

Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{\frac{16a^{16}b^{12}}{81x^{24}b^4}}$.

Прежде всего, упростим выражение под корнем, сократив дробь на общий множитель $b^4$ (при условии, что $b \neq 0$):

$\frac{16a^{16}b^{12}}{81x^{24}b^4} = \frac{16a^{16}b^{12-4}}{81x^{24}} = \frac{16a^{16}b^8}{81x^{24}}$

Теперь задача сводится к извлечению корня четвертой степени из полученной дроби. Применим свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt[n]{A}}{\sqrt[n]{B}}$:

$\sqrt[4]{\frac{16a^{16}b^8}{81x^{24}}} = \frac{\sqrt[4]{16a^{16}b^8}}{\sqrt[4]{81x^{24}}}$

Далее извлечем корень из числителя и знаменателя по отдельности, используя те же свойства, что и в пункте а).

Упростим числитель:

$\sqrt[4]{16a^{16}b^8} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{a^{16}} \cdot \sqrt[4]{b^8} = 2 \cdot a^{16/4} \cdot b^{8/4} = 2a^4b^2$

Упростим знаменатель:

$\sqrt[4]{81x^{24}} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{x^{24}} = 3 \cdot x^{24/4} = 3x^6$

При извлечении корня четной степени из переменной в четной степени результат следует брать по модулю, однако в данном случае $a^4$, $b^2$ и $x^6$ всегда неотрицательны, поэтому модуль можно опустить.

Объединим полученные результаты в итоговую дробь:

$\frac{2a^4b^2}{3x^6}$

Ответ: $\frac{2a^4b^2}{3x^6}$