Номер 324, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

324. a) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{a}};$

б) $\sqrt[3]{\sqrt[4]{b}};$

в) $\sqrt[3]{\sqrt[4]{y^{10}}};$

г) $\sqrt[5]{\sqrt[3]{x^{10}}}$.

а)

Чтобы упростить выражение с вложенными корнями, нужно воспользоваться свойством $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x}$. Согласно этому свойству, показатели корней перемножаются. В данном примере показатели корней равны $3$ и $3$.

Выполняем преобразование:

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{a}} = \sqrt[3 \cdot 3]{a} = \sqrt[9]{a}$

Ответ: $\sqrt[9]{a}$

б)

Применяем то же свойство, что и в предыдущем пункте: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x}$. Здесь показатели корней равны $3$ и $4$.

Перемножаем показатели корней:

$\sqrt[3]{\sqrt[4]{b}} = \sqrt[3 \cdot 4]{b} = \sqrt[12]{b}$

Ответ: $\sqrt[12]{b}$

в)

Сначала объединяем вложенные корни, перемножая их показатели ($3$ и $4$):

$\sqrt[3]{\sqrt[4]{y^{10}}} = \sqrt[3 \cdot 4]{y^{10}} = \sqrt[12]{y^{10}}$

Далее, полученное выражение можно упростить. Для этого нужно разделить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их наибольший общий делитель. Наибольший общий делитель для чисел $12$ и $10$ равен $2$.

$\sqrt[12]{y^{10}} = \sqrt[12:2]{y^{10:2}} = \sqrt[6]{y^5}$

Ответ: $\sqrt[6]{y^5}$

г)

Используем свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x}$ для объединения корней. Показатели корней равны $5$ и $3$.

$\sqrt[5]{\sqrt[3]{x^{10}}} = \sqrt[5 \cdot 3]{x^{10}} = \sqrt[15]{x^{10}}$

Теперь упростим полученный корень. Находим наибольший общий делитель для показателя корня ($15$) и показателя степени подкоренного выражения ($10$). Он равен $5$. Делим оба показателя на $5$.

$\sqrt[15]{x^{10}} = \sqrt[15:5]{x^{10:5}} = \sqrt[3]{x^2}$

Ответ: $\sqrt[3]{x^2}$