Номер 323, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

323. a) $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[4]{8}}$;

б) $\frac{\sqrt[3]{100}}{\sqrt{10}}$;

в) $\sqrt{\frac{m}{n}} \cdot \sqrt[3]{\frac{n}{m}}$;

г) $\sqrt[3]{\frac{p}{q}} \cdot \sqrt[4]{\frac{q}{p}}$.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[4]{8}}$, представим числа под корнями в виде степеней с общим основанием 2. Поскольку $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$, мы можем переписать исходное выражение так: $\frac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[4]{2^3}}$.
Далее, воспользуемся свойством корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, чтобы перейти к степеням с рациональными показателями:
$\frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{3}{4}}}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $a^x / a^y = a^{x-y}$.
$2^{\frac{2}{3} - \frac{3}{4}}$.
Чтобы найти разность показателей, приведем дроби к общему знаменателю 12:
$\frac{2}{3} - \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{3 \cdot 3}{12} = \frac{8 - 9}{12} = -\frac{1}{12}$.
Таким образом, наше выражение равно $2^{-\frac{1}{12}}$. Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и возвращаясь к записи с корнем, получаем:
$2^{-\frac{1}{12}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{12}}} = \frac{1}{\sqrt[12]{2}}$ или $\sqrt[12]{2^{-1}} = \sqrt[12]{\frac{1}{2}}$.
Ответ: $\sqrt[12]{\frac{1}{2}}$

б) Для упрощения выражения $\frac{\sqrt[3]{100}}{\sqrt{10}}$ представим число 100 как степень числа 10, то есть $100 = 10^2$.
Выражение принимает вид: $\frac{\sqrt[3]{10^2}}{\sqrt{10}}$.
Перейдем от корней к степеням с рациональными показателями (квадратный корень — это степень $\frac{1}{2}$):
$\frac{10^{\frac{2}{3}}}{10^{\frac{1}{2}}}$.
Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием:
$10^{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}$.
Вычислим разность показателей, приведя дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6}$.
В результате получаем $10^{\frac{1}{6}}$, что в виде корня записывается как $\sqrt[6]{10}$.
Ответ: $\sqrt[6]{10}$

в) Рассмотрим произведение $\sqrt{\frac{m}{n}} \cdot \sqrt[3]{\frac{n}{m}}$, где $m > 0$ и $n > 0$.
Переведем выражение в степенную форму:
$(\frac{m}{n})^{\frac{1}{2}} \cdot (\frac{n}{m})^{\frac{1}{3}}$.
Заметим, что дробь $\frac{n}{m}$ является обратной к дроби $\frac{m}{n}$, поэтому $\frac{n}{m} = (\frac{m}{n})^{-1}$. Подставим это во второй множитель:
$(\frac{m}{n})^{\frac{1}{2}} \cdot ((\frac{m}{n})^{-1})^{\frac{1}{3}} = (\frac{m}{n})^{\frac{1}{2}} \cdot (\frac{m}{n})^{-\frac{1}{3}}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$(\frac{m}{n})^{\frac{1}{2} + (-\frac{1}{3})} = (\frac{m}{n})^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}$.
Найдем разность в показателе, приведя дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$.
Итоговое выражение: $(\frac{m}{n})^{\frac{1}{6}}$, что можно записать в виде корня $\sqrt[6]{\frac{m}{n}}$.
Ответ: $\sqrt[6]{\frac{m}{n}}$

г) Упростим произведение $\sqrt[3]{\frac{p}{q}} \cdot \sqrt[4]{\frac{q}{p}}$, где $p > 0$ и $q > 0$.
Запишем выражение, используя степени с рациональными показателями:
$(\frac{p}{q})^{\frac{1}{3}} \cdot (\frac{q}{p})^{\frac{1}{4}}$.
Поскольку $\frac{q}{p} = (\frac{p}{q})^{-1}$, мы можем переписать выражение с единым основанием $\frac{p}{q}$:
$(\frac{p}{q})^{\frac{1}{3}} \cdot ((\frac{p}{q})^{-1})^{\frac{1}{4}} = (\frac{p}{q})^{\frac{1}{3}} \cdot (\frac{p}{q})^{-\frac{1}{4}}$.
Теперь, по свойству умножения степеней, сложим их показатели:
$(\frac{p}{q})^{\frac{1}{3} - \frac{1}{4}}$.
Приведем показатели к общему знаменателю 12:
$\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}$.
Таким образом, мы получаем $(\frac{p}{q})^{\frac{1}{12}}$, что в корневой форме выглядит как $\sqrt[12]{\frac{p}{q}}$.
Ответ: $\sqrt[12]{\frac{p}{q}}$