Номер 317, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

317. a) $\sqrt[6]{27}$;

б) $\sqrt[6]{16}$;

в) $\sqrt[9]{64}$;

г) $\sqrt[12]{81}$.

а)

Для упрощения выражения $\sqrt[6]{27}$ представим подкоренное число 27 в виде степени. Так как $27 = 3^3$, то выражение можно переписать в виде $\sqrt[6]{3^3}$.

Воспользуемся свойством корня: $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$. Это свойство позволяет сократить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель.

Общий делитель для показателя корня 6 и показателя степени 3 равен 3. Выполним сокращение: $\sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6 \div 3]{3^{3 \div 3}} = \sqrt[2]{3^1} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

б)

Для упрощения выражения $\sqrt[6]{16}$ представим число 16 в виде степени. Так как $16 = 2^4$, то выражение можно переписать как $\sqrt[6]{2^4}$.

Используя свойство $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$, найдем общий делитель для показателя корня 6 и показателя степени 4. Он равен 2.

Сократим показатели на 2: $\sqrt[6]{2^4} = \sqrt[6 \div 2]{2^{4 \div 2}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$.

Ответ: $\sqrt[3]{4}$

в)

Для упрощения выражения $\sqrt[9]{64}$ представим число 64 в виде степени. Так как $64 = 2^6$, то выражение можно переписать как $\sqrt[9]{2^6}$.

Общий делитель для показателя корня 9 и показателя степени 6 равен 3.

Применим свойство $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$ и сократим показатели на 3: $\sqrt[9]{2^6} = \sqrt[9 \div 3]{2^{6 \div 3}} = \sqrt[3]{2^2} = \sqrt[3]{4}$.

Ответ: $\sqrt[3]{4}$

г)

Для упрощения выражения $\sqrt[12]{81}$ представим число 81 в виде степени. Так как $81 = 3^4$, то выражение можно переписать как $\sqrt[12]{3^4}$.

Общий делитель для показателя корня 12 и показателя степени 4 равен 4.

Применим свойство $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$ и сократим показатели на 4: $\sqrt[12]{3^4} = \sqrt[12 \div 4]{3^{4 \div 4}} = \sqrt[3]{3^1} = \sqrt[3]{3}$.

Ответ: $\sqrt[3]{3}$