Номер 318, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

318. Запишите $\sqrt{a} (a \ge 0)$ как корень:

а) четвёртой степени;

б) шестой степени;

в) десятой степени;

г) шестнадцатой степени.

Для того чтобы записать выражение $\sqrt{a}$ в виде корня другой степени, мы воспользуемся основным свойством арифметического корня. Это свойство гласит, что если показатель корня и показатель степени подкоренного выражения умножить на одно и то же натуральное число, то значение корня не изменится. В виде формулы это выглядит так: $\sqrt[n]{x^m} = \sqrt[n \cdot k]{x^{m \cdot k}}$, где $x \ge 0$, а $n$ и $k$ – натуральные числа.

Исходное выражение $\sqrt{a}$ является корнем второй степени из $a$ в первой степени, то есть $\sqrt[2]{a^1}$.

а) четвёртой степени

Чтобы представить $\sqrt{a}$ как корень четвёртой степени, нам нужно изменить показатель корня с 2 на 4. Для этого необходимо умножить показатель корня на 2, так как $2 \cdot 2 = 4$.

Согласно свойству, мы должны умножить на то же число 2 и показатель степени подкоренного выражения, который равен 1. Получаем новый показатель степени: $1 \cdot 2 = 2$.

Таким образом, преобразование выглядит следующим образом:

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 2]{a^{1 \cdot 2}} = \sqrt[4]{a^2}$

Ответ: $\sqrt[4]{a^2}$

б) шестой степени

Чтобы представить $\sqrt{a}$ как корень шестой степени, нам нужно изменить показатель корня с 2 на 6. Для этого необходимо умножить показатель корня на 3, так как $2 \cdot 3 = 6$.

Показатель степени подкоренного выражения (1) также умножаем на 3. Получаем новый показатель степени: $1 \cdot 3 = 3$.

Выполняем преобразование:

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 3]{a^{1 \cdot 3}} = \sqrt[6]{a^3}$

Ответ: $\sqrt[6]{a^3}$

в) десятой степени

Чтобы представить $\sqrt{a}$ как корень десятой степени, нам нужно изменить показатель корня с 2 на 10. Для этого необходимо умножить показатель корня на 5, так как $2 \cdot 5 = 10$.

Показатель степени подкоренного выражения (1) также умножаем на 5. Получаем новый показатель степени: $1 \cdot 5 = 5$.

Выполняем преобразование:

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 5]{a^{1 \cdot 5}} = \sqrt[10]{a^5}$

Ответ: $\sqrt[10]{a^5}$

г) шестнадцатой степени

Чтобы представить $\sqrt{a}$ как корень шестнадцатой степени, нам нужно изменить показатель корня с 2 на 16. Для этого необходимо умножить показатель корня на 8, так как $2 \cdot 8 = 16$.

Показатель степени подкоренного выражения (1) также умножаем на 8. Получаем новый показатель степени: $1 \cdot 8 = 8$.

Выполняем преобразование:

$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a^1} = \sqrt[2 \cdot 8]{a^{1 \cdot 8}} = \sqrt[16]{a^8}$

Ответ: $\sqrt[16]{a^8}$