Номер 319, страница 96 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

319. Запишите $\sqrt{x} (x \ge 0)$ как корень:

а) восьмой степени;

б) двенадцатой степени;

в) двадцать четвёртой степени;

г) тридцатой степени.

Для решения задачи воспользуемся основным свойством арифметического корня, которое гласит, что для любого неотрицательного числа $a$ и натуральных чисел $n, m, k$ справедливо равенство: $\sqrt[n]{a^m} = \sqrt[nk]{a^{mk}}$. Это свойство позволяет умножить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на одно и то же натуральное число, не изменяя значения корня. Исходное выражение $\sqrt{x}$ является корнем второй степени из $x$, то есть $\sqrt[2]{x^1}$.

а) восьмой степени
Чтобы представить $\sqrt{x}$ как корень восьмой степени, нам нужно найти число, на которое следует умножить показатель корня (2), чтобы получить 8. Это число 4, так как $2 \cdot 4 = 8$. Согласно свойству корня, мы должны также возвести подкоренное выражение $x^1$ в степень 4.
Таким образом, получаем:
$\sqrt{x} = \sqrt[2]{x^1} = \sqrt[2 \cdot 4]{x^{1 \cdot 4}} = \sqrt[8]{x^4}$.
Ответ: $\sqrt[8]{x^4}$

б) двенадцатой степени
Чтобы представить $\sqrt{x}$ как корень двенадцатой степени, нам нужно умножить показатель корня 2 на 6, так как $2 \cdot 6 = 12$. Одновременно возводим подкоренное выражение $x$ в степень 6.
Выполним преобразование:
$\sqrt{x} = \sqrt[2]{x^1} = \sqrt[2 \cdot 6]{x^{1 \cdot 6}} = \sqrt[12]{x^6}$.
Ответ: $\sqrt[12]{x^6}$

в) двадцать четвёртой степени
Чтобы представить $\sqrt{x}$ как корень двадцать четвёртой степени, необходимо умножить показатель корня 2 на 12, так как $2 \cdot 12 = 24$. Подкоренное выражение $x$ при этом возводится в степень 12.
Выполним преобразование:
$\sqrt{x} = \sqrt[2]{x^1} = \sqrt[2 \cdot 12]{x^{1 \cdot 12}} = \sqrt[24]{x^{12}}$.
Ответ: $\sqrt[24]{x^{12}}$

г) тридцатой степени
Чтобы представить $\sqrt{x}$ как корень тридцатой степени, необходимо умножить показатель корня 2 на 15, так как $2 \cdot 15 = 30$. Подкоренное выражение $x$ при этом возводится в степень 15.
Выполним преобразование:
$\sqrt{x} = \sqrt[2]{x^1} = \sqrt[2 \cdot 15]{x^{1 \cdot 15}} = \sqrt[30]{x^{15}}$.
Ответ: $\sqrt[30]{x^{15}}$