Номер 321, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

321. Запишите в виде корней одной и той же степени три числа:

а) $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt{2}$ и $\sqrt[6]{5}$;

б) $\sqrt{5}$, $\sqrt[4]{15}$ и $\sqrt[8]{50}$.

а) Чтобы записать числа $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt{2}$ и $\sqrt[6]{5}$ в виде корней одной и той же степени, нужно привести их к общему показателю корня. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) показателей степеней корней: 3, 2 (для квадратного корня) и 6.

НОК(3, 2, 6) = 6.

Теперь приведем каждый корень к 6-й степени, используя свойство $\sqrt[n]{a} = \sqrt[n \cdot k]{a^k}$.

1. Для числа $\sqrt[3]{3}$: домножим показатель корня и степень подкоренного выражения на 2 ($6 \div 3 = 2$).
$\sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 2]{3^2} = \sqrt[6]{9}$.

2. Для числа $\sqrt{2}$: домножим показатель корня (который равен 2) и степень подкоренного выражения на 3 ($6 \div 2 = 3$).
$\sqrt{2} = \sqrt[2 \cdot 3]{2^3} = \sqrt[6]{8}$.

3. Число $\sqrt[6]{5}$ уже имеет показатель корня 6, поэтому его изменять не нужно.

В результате получаем три числа, записанные в виде корней 6-й степени: $\sqrt[6]{9}$, $\sqrt[6]{8}$, $\sqrt[6]{5}$.

Ответ: $\sqrt[6]{9}, \sqrt[6]{8}, \sqrt[6]{5}$.

б) Чтобы записать числа $\sqrt{5}$, $\sqrt[4]{15}$ и $\sqrt[8]{50}$ в виде корней одной и той же степени, найдем наименьшее общее кратное (НОК) показателей степеней корней: 2, 4 и 8.

НОК(2, 4, 8) = 8.

Теперь приведем каждый корень к 8-й степени.

1. Для числа $\sqrt{5}$: домножим показатель корня (который равен 2) и степень подкоренного выражения на 4 ($8 \div 2 = 4$).
$\sqrt{5} = \sqrt[2 \cdot 4]{5^4} = \sqrt[8]{625}$.

2. Для числа $\sqrt[4]{15}$: домножим показатель корня и степень подкоренного выражения на 2 ($8 \div 4 = 2$).
$\sqrt[4]{15} = \sqrt[4 \cdot 2]{15^2} = \sqrt[8]{225}$.

3. Число $\sqrt[8]{50}$ уже имеет показатель корня 8, поэтому оно остается без изменений.

В результате получаем три числа, записанные в виде корней 8-й степени: $\sqrt[8]{625}$, $\sqrt[8]{225}$, $\sqrt[8]{50}$.

Ответ: $\sqrt[8]{625}, \sqrt[8]{225}, \sqrt[8]{50}$.