Номер 327, страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

327. Используя свойства корней степени $n$, запишите число так, чтобы под знаком корня было целое число:

a) $4\sqrt{\frac{1}{2}};$

б) $4\sqrt[4]{\frac{1}{3}};$

в) $5\sqrt[3]{\frac{3}{4}};$

г) $3\sqrt[3]{\frac{4}{5}}.$

а) Чтобы преобразовать число $4\sqrt{\frac{1}{2}}$ так, чтобы под знаком корня было целое число, воспользуемся свойством внесения множителя под знак корня: $c\sqrt[n]{a} = \sqrt[n]{c^n a}$. В данном случае $c=4$, $n=2$.
Внесем множитель 4 под знак квадратного корня, возведя его в квадрат:
$4\sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{4^2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{16 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{16}{2}} = \sqrt{8}$.
Теперь под знаком корня находится целое число 8.
Ответ: $\sqrt{8}$.

б) В выражении $\sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ подкоренное выражение является дробью. Чтобы сделать его целым, нужно избавиться от знаменателя. Для этого домножим числитель и знаменатель дроби под корнем на такое число, чтобы знаменатель стал полной четвертой степенью.
Знаменатель равен 3. Чтобы получить $3^4$, нужно домножить на $3^{4-1} = 3^3 = 27$.
$\sqrt[4]{\frac{1}{3}} = \sqrt[4]{\frac{1 \cdot 27}{3 \cdot 27}} = \sqrt[4]{\frac{27}{81}}$.
Теперь используем свойство корня из частного $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:
$\frac{\sqrt[4]{27}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$.
В полученном выражении под знаком корня стоит целое число 27.
Ответ: $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$.

в) Рассмотрим выражение $5\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$. Сначала преобразуем дробь под знаком корня. Нам нужно, чтобы знаменатель стал полной третьей степенью.
Знаменатель равен $4 = 2^2$. Чтобы получить куб ($2^3$), нужно домножить на $2^{3-2} = 2^1 = 2$.
Домножим числитель и знаменатель дроби под корнем на 2:
$5\sqrt[3]{\frac{3}{4}} = 5\sqrt[3]{\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2}} = 5\sqrt[3]{\frac{6}{8}}$.
Теперь извлечем корень из знаменателя:
$5\sqrt[3]{\frac{6}{8}} = 5 \cdot \frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{8}} = 5 \cdot \frac{\sqrt[3]{6}}{2} = \frac{5}{2}\sqrt[3]{6}$.
Под знаком корня теперь находится целое число 6.
Ответ: $\frac{5}{2}\sqrt[3]{6}$.

г) В выражении $\sqrt[3]{\frac{4}{5}}$ подкоренное выражение является дробью. Чтобы избавиться от дроби, домножим числитель и знаменатель на такое число, чтобы знаменатель стал полной третьей степенью.
Знаменатель равен 5. Чтобы получить $5^3$, нужно домножить на $5^{3-1} = 5^2 = 25$.
$\sqrt[3]{\frac{4}{5}} = \sqrt[3]{\frac{4 \cdot 25}{5 \cdot 25}} = \sqrt[3]{\frac{100}{125}}$.
Теперь извлечем корень из знаменателя:
$\sqrt[3]{\frac{100}{125}} = \frac{\sqrt[3]{100}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$.
Под знаком корня находится целое число 100.
Ответ: $\frac{\sqrt[3]{100}}{5}$.