Страница 97 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

321. Запишите в виде корней одной и той же степени три числа:

а) $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt{2}$ и $\sqrt[6]{5}$;

б) $\sqrt{5}$, $\sqrt[4]{15}$ и $\sqrt[8]{50}$.

а) Чтобы записать числа $\sqrt[3]{3}$, $\sqrt{2}$ и $\sqrt[6]{5}$ в виде корней одной и той же степени, нужно привести их к общему показателю корня. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) показателей степеней корней: 3, 2 (для квадратного корня) и 6.

НОК(3, 2, 6) = 6.

Теперь приведем каждый корень к 6-й степени, используя свойство $\sqrt[n]{a} = \sqrt[n \cdot k]{a^k}$.

1. Для числа $\sqrt[3]{3}$: домножим показатель корня и степень подкоренного выражения на 2 ($6 \div 3 = 2$).
$\sqrt[3]{3} = \sqrt[3 \cdot 2]{3^2} = \sqrt[6]{9}$.

2. Для числа $\sqrt{2}$: домножим показатель корня (который равен 2) и степень подкоренного выражения на 3 ($6 \div 2 = 3$).
$\sqrt{2} = \sqrt[2 \cdot 3]{2^3} = \sqrt[6]{8}$.

3. Число $\sqrt[6]{5}$ уже имеет показатель корня 6, поэтому его изменять не нужно.

В результате получаем три числа, записанные в виде корней 6-й степени: $\sqrt[6]{9}$, $\sqrt[6]{8}$, $\sqrt[6]{5}$.

Ответ: $\sqrt[6]{9}, \sqrt[6]{8}, \sqrt[6]{5}$.

б) Чтобы записать числа $\sqrt{5}$, $\sqrt[4]{15}$ и $\sqrt[8]{50}$ в виде корней одной и той же степени, найдем наименьшее общее кратное (НОК) показателей степеней корней: 2, 4 и 8.

НОК(2, 4, 8) = 8.

Теперь приведем каждый корень к 8-й степени.

1. Для числа $\sqrt{5}$: домножим показатель корня (который равен 2) и степень подкоренного выражения на 4 ($8 \div 2 = 4$).
$\sqrt{5} = \sqrt[2 \cdot 4]{5^4} = \sqrt[8]{625}$.

2. Для числа $\sqrt[4]{15}$: домножим показатель корня и степень подкоренного выражения на 2 ($8 \div 4 = 2$).
$\sqrt[4]{15} = \sqrt[4 \cdot 2]{15^2} = \sqrt[8]{225}$.

3. Число $\sqrt[8]{50}$ уже имеет показатель корня 8, поэтому оно остается без изменений.

В результате получаем три числа, записанные в виде корней 8-й степени: $\sqrt[8]{625}$, $\sqrt[8]{225}$, $\sqrt[8]{50}$.

Ответ: $\sqrt[8]{625}, \sqrt[8]{225}, \sqrt[8]{50}$.

Упростите выражение (322—326):

322. а) $\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[5]{a}$;

б) $\sqrt[4]{b} \cdot \sqrt[3]{b}$;

в) $\sqrt{a} \cdot \sqrt[6]{b}$;

г) $\sqrt[9]{x} \cdot \sqrt[12]{y}$.

а) Чтобы упростить произведение корней с разными показателями, необходимо привести их к общему показателю. Общий показатель будет равен наименьшему общему кратному (НОК) показателей корней. В данном случае показатели корней 3 и 5.
НОК(3, 5) = 15.
Приведем каждый корень к показателю 15, используя свойство $\sqrt[n]{x} = \sqrt[n \cdot k]{x^k}$:
$\sqrt[3]{a} = \sqrt[3 \cdot 5]{a^5} = \sqrt[15]{a^5}$
$\sqrt[5]{a} = \sqrt[5 \cdot 3]{a^3} = \sqrt[15]{a^3}$
Теперь перемножим полученные выражения, используя свойство $\sqrt[n]{x} \cdot \sqrt[n]{y} = \sqrt[n]{xy}$:
$\sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[5]{a} = \sqrt[15]{a^5} \cdot \sqrt[15]{a^3} = \sqrt[15]{a^5 \cdot a^3} = \sqrt[15]{a^{5+3}} = \sqrt[15]{a^8}$
Ответ: $\sqrt[15]{a^8}$

б) Аналогично предыдущему пункту, приведем корни к общему показателю. Показатели корней 4 и 3.
НОК(4, 3) = 12.
Приводим корни к показателю 12:
$\sqrt[4]{b} = \sqrt[4 \cdot 3]{b^3} = \sqrt[12]{b^3}$
$\sqrt[3]{b} = \sqrt[3 \cdot 4]{b^4} = \sqrt[12]{b^4}$
Перемножаем:
$\sqrt[4]{b} \cdot \sqrt[3]{b} = \sqrt[12]{b^3} \cdot \sqrt[12]{b^4} = \sqrt[12]{b^3 \cdot b^4} = \sqrt[12]{b^{3+4}} = \sqrt[12]{b^7}$
Ответ: $\sqrt[12]{b^7}$

в) В данном выражении подкоренные выражения различны. Чтобы упростить произведение, приведем корни к общему показателю. Показатель первого корня (квадратного) равен 2, а второго — 6.
НОК(2, 6) = 6.
Приводим первый корень к показателю 6 (второй уже имеет этот показатель):
$\sqrt{a} = \sqrt[2]{a} = \sqrt[2 \cdot 3]{a^3} = \sqrt[6]{a^3}$
Теперь перемножаем корни с одинаковым показателем:
$\sqrt{a} \cdot \sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{a^3} \cdot \sqrt[6]{b} = \sqrt[6]{a^3 b}$
Ответ: $\sqrt[6]{a^3b}$

г) В этом выражении также разные подкоренные выражения. Приведем корни к общему показателю. Показатели корней 9 и 12.
Найдем НОК(9, 12). Разложим на простые множители: $9 = 3^2$, $12 = 2^2 \cdot 3$.
НОК(9, 12) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.
Приводим каждый корень к показателю 36:
$\sqrt[9]{x} = \sqrt[9 \cdot 4]{x^4} = \sqrt[36]{x^4}$
$\sqrt[12]{y} = \sqrt[12 \cdot 3]{y^3} = \sqrt[36]{y^3}$
Перемножаем полученные выражения:
$\sqrt[9]{x} \cdot \sqrt[12]{y} = \sqrt[36]{x^4} \cdot \sqrt[36]{y^3} = \sqrt[36]{x^4 y^3}$
Ответ: $\sqrt[36]{x^4 y^3}$

323. a) $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[4]{8}}$;

б) $\frac{\sqrt[3]{100}}{\sqrt{10}}$;

в) $\sqrt{\frac{m}{n}} \cdot \sqrt[3]{\frac{n}{m}}$;

г) $\sqrt[3]{\frac{p}{q}} \cdot \sqrt[4]{\frac{q}{p}}$.

а) Чтобы упростить выражение $\frac{\sqrt[3]{4}}{\sqrt[4]{8}}$, представим числа под корнями в виде степеней с общим основанием 2. Поскольку $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$, мы можем переписать исходное выражение так: $\frac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[4]{2^3}}$.
Далее, воспользуемся свойством корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, чтобы перейти к степеням с рациональными показателями:
$\frac{2^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{3}{4}}}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $a^x / a^y = a^{x-y}$.
$2^{\frac{2}{3} - \frac{3}{4}}$.
Чтобы найти разность показателей, приведем дроби к общему знаменателю 12:
$\frac{2}{3} - \frac{3}{4} = \frac{2 \cdot 4}{12} - \frac{3 \cdot 3}{12} = \frac{8 - 9}{12} = -\frac{1}{12}$.
Таким образом, наше выражение равно $2^{-\frac{1}{12}}$. Используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и возвращаясь к записи с корнем, получаем:
$2^{-\frac{1}{12}} = \frac{1}{2^{\frac{1}{12}}} = \frac{1}{\sqrt[12]{2}}$ или $\sqrt[12]{2^{-1}} = \sqrt[12]{\frac{1}{2}}$.
Ответ: $\sqrt[12]{\frac{1}{2}}$

б) Для упрощения выражения $\frac{\sqrt[3]{100}}{\sqrt{10}}$ представим число 100 как степень числа 10, то есть $100 = 10^2$.
Выражение принимает вид: $\frac{\sqrt[3]{10^2}}{\sqrt{10}}$.
Перейдем от корней к степеням с рациональными показателями (квадратный корень — это степень $\frac{1}{2}$):
$\frac{10^{\frac{2}{3}}}{10^{\frac{1}{2}}}$.
Применяем правило деления степеней с одинаковым основанием:
$10^{\frac{2}{3} - \frac{1}{2}}$.
Вычислим разность показателей, приведя дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{2}{3} - \frac{1}{2} = \frac{4}{6} - \frac{3}{6} = \frac{1}{6}$.
В результате получаем $10^{\frac{1}{6}}$, что в виде корня записывается как $\sqrt[6]{10}$.
Ответ: $\sqrt[6]{10}$

в) Рассмотрим произведение $\sqrt{\frac{m}{n}} \cdot \sqrt[3]{\frac{n}{m}}$, где $m > 0$ и $n > 0$.
Переведем выражение в степенную форму:
$(\frac{m}{n})^{\frac{1}{2}} \cdot (\frac{n}{m})^{\frac{1}{3}}$.
Заметим, что дробь $\frac{n}{m}$ является обратной к дроби $\frac{m}{n}$, поэтому $\frac{n}{m} = (\frac{m}{n})^{-1}$. Подставим это во второй множитель:
$(\frac{m}{n})^{\frac{1}{2}} \cdot ((\frac{m}{n})^{-1})^{\frac{1}{3}} = (\frac{m}{n})^{\frac{1}{2}} \cdot (\frac{m}{n})^{-\frac{1}{3}}$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$(\frac{m}{n})^{\frac{1}{2} + (-\frac{1}{3})} = (\frac{m}{n})^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}}$.
Найдем разность в показателе, приведя дроби к общему знаменателю 6:
$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$.
Итоговое выражение: $(\frac{m}{n})^{\frac{1}{6}}$, что можно записать в виде корня $\sqrt[6]{\frac{m}{n}}$.
Ответ: $\sqrt[6]{\frac{m}{n}}$

г) Упростим произведение $\sqrt[3]{\frac{p}{q}} \cdot \sqrt[4]{\frac{q}{p}}$, где $p > 0$ и $q > 0$.
Запишем выражение, используя степени с рациональными показателями:
$(\frac{p}{q})^{\frac{1}{3}} \cdot (\frac{q}{p})^{\frac{1}{4}}$.
Поскольку $\frac{q}{p} = (\frac{p}{q})^{-1}$, мы можем переписать выражение с единым основанием $\frac{p}{q}$:
$(\frac{p}{q})^{\frac{1}{3}} \cdot ((\frac{p}{q})^{-1})^{\frac{1}{4}} = (\frac{p}{q})^{\frac{1}{3}} \cdot (\frac{p}{q})^{-\frac{1}{4}}$.
Теперь, по свойству умножения степеней, сложим их показатели:
$(\frac{p}{q})^{\frac{1}{3} - \frac{1}{4}}$.
Приведем показатели к общему знаменателю 12:
$\frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{1}{12}$.
Таким образом, мы получаем $(\frac{p}{q})^{\frac{1}{12}}$, что в корневой форме выглядит как $\sqrt[12]{\frac{p}{q}}$.
Ответ: $\sqrt[12]{\frac{p}{q}}$

324. a) $\sqrt[3]{\sqrt[3]{a}};$

б) $\sqrt[3]{\sqrt[4]{b}};$

в) $\sqrt[3]{\sqrt[4]{y^{10}}};$

г) $\sqrt[5]{\sqrt[3]{x^{10}}}$.

а)

Чтобы упростить выражение с вложенными корнями, нужно воспользоваться свойством $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x}$. Согласно этому свойству, показатели корней перемножаются. В данном примере показатели корней равны $3$ и $3$.

Выполняем преобразование:

$\sqrt[3]{\sqrt[3]{a}} = \sqrt[3 \cdot 3]{a} = \sqrt[9]{a}$

Ответ: $\sqrt[9]{a}$

б)

Применяем то же свойство, что и в предыдущем пункте: $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x}$. Здесь показатели корней равны $3$ и $4$.

Перемножаем показатели корней:

$\sqrt[3]{\sqrt[4]{b}} = \sqrt[3 \cdot 4]{b} = \sqrt[12]{b}$

Ответ: $\sqrt[12]{b}$

в)

Сначала объединяем вложенные корни, перемножая их показатели ($3$ и $4$):

$\sqrt[3]{\sqrt[4]{y^{10}}} = \sqrt[3 \cdot 4]{y^{10}} = \sqrt[12]{y^{10}}$

Далее, полученное выражение можно упростить. Для этого нужно разделить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их наибольший общий делитель. Наибольший общий делитель для чисел $12$ и $10$ равен $2$.

$\sqrt[12]{y^{10}} = \sqrt[12:2]{y^{10:2}} = \sqrt[6]{y^5}$

Ответ: $\sqrt[6]{y^5}$

г)

Используем свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[m \cdot n]{x}$ для объединения корней. Показатели корней равны $5$ и $3$.

$\sqrt[5]{\sqrt[3]{x^{10}}} = \sqrt[5 \cdot 3]{x^{10}} = \sqrt[15]{x^{10}}$

Теперь упростим полученный корень. Находим наибольший общий делитель для показателя корня ($15$) и показателя степени подкоренного выражения ($10$). Он равен $5$. Делим оба показателя на $5$.

$\sqrt[15]{x^{10}} = \sqrt[15:5]{x^{10:5}} = \sqrt[3]{x^2}$

Ответ: $\sqrt[3]{x^2}$

325. a) $\sqrt{a\sqrt[4]{a}}$;

б) $\sqrt[3]{x\sqrt{x}}$;

в) $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}$;

г) $\sqrt[3]{a^3\sqrt[3]{b^3\sqrt[3]{c}}}$.

а) Для упрощения выражения $\sqrt{a\sqrt[4]{a}}$ будем использовать свойства степеней, представив корни в виде степеней с дробными показателями. Предполагается, что $a \ge 0$.
Основное свойство: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.
1. Сначала преобразуем внутренний радикал: $\sqrt[4]{a} = a^{\frac{1}{4}}$.
2. Подставим это в исходное выражение: $\sqrt{a \cdot a^{\frac{1}{4}}}$.
3. Используя свойство $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, упростим выражение под внешним корнем: $a^1 \cdot a^{\frac{1}{4}} = a^{1+\frac{1}{4}} = a^{\frac{5}{4}}$.
4. Теперь выражение выглядит так: $\sqrt{a^{\frac{5}{4}}}$.
5. Преобразуем оставшийся квадратный корень в степень: $(a^{\frac{5}{4}})^{\frac{1}{2}}$.
6. Используя свойство $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, перемножим показатели: $a^{\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{8}}$.
7. Запишем результат снова в виде корня: $a^{\frac{5}{8}} = \sqrt[8]{a^5}$.
Ответ: $\sqrt[8]{a^5}$

б) Упростим выражение $\sqrt[3]{x\sqrt{x}}$. Предполагается, что $x \ge 0$.
1. Преобразуем внутренний квадратный корень в степень: $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$.
2. Подставим в исходное выражение: $\sqrt[3]{x \cdot x^{\frac{1}{2}}}$.
3. Упростим произведение под кубическим корнем: $x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{1+\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$.
4. Получаем выражение: $\sqrt[3]{x^{\frac{3}{2}}}$.
5. Преобразуем кубический корень в степень: $(x^{\frac{3}{2}})^{\frac{1}{3}}$.
6. Перемножим показатели степени: $x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}} = x^{\frac{3}{6}} = x^{\frac{1}{2}}$.
7. Преобразуем результат обратно в корень: $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$.
Ответ: $\sqrt{x}$

в) Упростим выражение $\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}$. Будем работать "изнутри наружу". Предполагается, что $x \ge 0$.
1. Начнем с самого внутреннего корня: $\sqrt{x}$.
2. Подставим его в средний корень: $\sqrt{x \cdot \sqrt{x}}$. Чтобы упростить, внесем $x$ под внутренний корень, возведя его в квадрат: $\sqrt{\sqrt{x^2 \cdot x}} = \sqrt{\sqrt{x^3}}$.
3. Используя свойство $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}} = \sqrt[mn]{a}$, получаем: $\sqrt[2 \cdot 2]{x^3} = \sqrt[4]{x^3}$.
4. Теперь исходное выражение выглядит так: $\sqrt{x \cdot \sqrt[4]{x^3}}$.
5. Внесем $x$ под корень четвертой степени, возведя его в четвертую степень: $\sqrt{\sqrt[4]{x^4 \cdot x^3}} = \sqrt{\sqrt[4]{x^7}}$.
6. Снова применяем свойство "корень из корня": $\sqrt[2 \cdot 4]{x^7} = \sqrt[8]{x^7}$.
Ответ: $\sqrt[8]{x^7}$

г) Упростим выражение $\sqrt[3]{a\sqrt[3]{b\sqrt[3]{c}}}$. Будем последовательно вносить множители под знаки следующих корней. Предполагается, что $a, b, c \ge 0$.
1. Начнем со среднего радикала: $\sqrt[3]{b\sqrt[3]{c}}$. Внесем множитель $b$ под знак внутреннего корня, возведя его в степень 3: $\sqrt[3]{\sqrt[3]{b^3 c}}$.
2. По свойству $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[mn]{x}$ объединим корни: $\sqrt[3 \cdot 3]{b^3 c} = \sqrt[9]{b^3 c}$.
3. Теперь исходное выражение можно записать как: $\sqrt[3]{a \cdot \sqrt[9]{b^3 c}}$.
4. Внесем множитель $a$ под знак корня 9-й степени, возведя его в степень 9: $\sqrt[3]{\sqrt[9]{a^9 \cdot b^3 c}}$.
5. Снова объединим корни: $\sqrt[3 \cdot 9]{a^9 b^3 c} = \sqrt[27]{a^9 b^3 c}$.
Ответ: $\sqrt[27]{a^9 b^3 c}$

326. a) $\sqrt[3]{\frac{8x^3y^6}{27a^{12}b^9}}$;

б) $\sqrt[4]{\frac{16a^{16}b^{12}}{81x^{24}b^4}}$.

а)

Для того чтобы упростить выражение $\sqrt[3]{\frac{8x^3y^6}{27a^{12}b^9}}$, воспользуемся свойством корня из дроби, которое гласит, что корень из дроби равен дроби из корней числителя и знаменателя: $\sqrt[n]{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt[n]{A}}{\sqrt[n]{B}}$.

$\sqrt[3]{\frac{8x^3y^6}{27a^{12}b^9}} = \frac{\sqrt[3]{8x^3y^6}}{\sqrt[3]{27a^{12}b^9}}$

Теперь извлечем кубический корень из числителя и знаменателя по отдельности. Для этого используем свойство корня из произведения $\sqrt[n]{ABC} = \sqrt[n]{A}\sqrt[n]{B}\sqrt[n]{C}$ и правило извлечения корня из степени $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$.

Упростим числитель:

$\sqrt[3]{8x^3y^6} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{x^3} \cdot \sqrt[3]{y^6} = 2 \cdot x^{3/3} \cdot y^{6/3} = 2xy^2$

Упростим знаменатель:

$\sqrt[3]{27a^{12}b^9} = \sqrt[3]{27} \cdot \sqrt[3]{a^{12}} \cdot \sqrt[3]{b^9} = 3 \cdot a^{12/3} \cdot b^{9/3} = 3a^4b^3$

Теперь объединим полученные выражения в дробь:

$\frac{2xy^2}{3a^4b^3}$

Ответ: $\frac{2xy^2}{3a^4b^3}$

б)

Рассмотрим выражение $\sqrt[4]{\frac{16a^{16}b^{12}}{81x^{24}b^4}}$.

Прежде всего, упростим выражение под корнем, сократив дробь на общий множитель $b^4$ (при условии, что $b \neq 0$):

$\frac{16a^{16}b^{12}}{81x^{24}b^4} = \frac{16a^{16}b^{12-4}}{81x^{24}} = \frac{16a^{16}b^8}{81x^{24}}$

Теперь задача сводится к извлечению корня четвертой степени из полученной дроби. Применим свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt[n]{A}}{\sqrt[n]{B}}$:

$\sqrt[4]{\frac{16a^{16}b^8}{81x^{24}}} = \frac{\sqrt[4]{16a^{16}b^8}}{\sqrt[4]{81x^{24}}}$

Далее извлечем корень из числителя и знаменателя по отдельности, используя те же свойства, что и в пункте а).

Упростим числитель:

$\sqrt[4]{16a^{16}b^8} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{a^{16}} \cdot \sqrt[4]{b^8} = 2 \cdot a^{16/4} \cdot b^{8/4} = 2a^4b^2$

Упростим знаменатель:

$\sqrt[4]{81x^{24}} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{x^{24}} = 3 \cdot x^{24/4} = 3x^6$

При извлечении корня четной степени из переменной в четной степени результат следует брать по модулю, однако в данном случае $a^4$, $b^2$ и $x^6$ всегда неотрицательны, поэтому модуль можно опустить.

Объединим полученные результаты в итоговую дробь:

$\frac{2a^4b^2}{3x^6}$

Ответ: $\frac{2a^4b^2}{3x^6}$

327. Используя свойства корней степени $n$, запишите число так, чтобы под знаком корня было целое число:

a) $4\sqrt{\frac{1}{2}};$

б) $4\sqrt[4]{\frac{1}{3}};$

в) $5\sqrt[3]{\frac{3}{4}};$

г) $3\sqrt[3]{\frac{4}{5}}.$

а) Чтобы преобразовать число $4\sqrt{\frac{1}{2}}$ так, чтобы под знаком корня было целое число, воспользуемся свойством внесения множителя под знак корня: $c\sqrt[n]{a} = \sqrt[n]{c^n a}$. В данном случае $c=4$, $n=2$.
Внесем множитель 4 под знак квадратного корня, возведя его в квадрат:
$4\sqrt{\frac{1}{2}} = \sqrt{4^2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{16 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{16}{2}} = \sqrt{8}$.
Теперь под знаком корня находится целое число 8.
Ответ: $\sqrt{8}$.

б) В выражении $\sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ подкоренное выражение является дробью. Чтобы сделать его целым, нужно избавиться от знаменателя. Для этого домножим числитель и знаменатель дроби под корнем на такое число, чтобы знаменатель стал полной четвертой степенью.
Знаменатель равен 3. Чтобы получить $3^4$, нужно домножить на $3^{4-1} = 3^3 = 27$.
$\sqrt[4]{\frac{1}{3}} = \sqrt[4]{\frac{1 \cdot 27}{3 \cdot 27}} = \sqrt[4]{\frac{27}{81}}$.
Теперь используем свойство корня из частного $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:
$\frac{\sqrt[4]{27}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$.
В полученном выражении под знаком корня стоит целое число 27.
Ответ: $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$.

в) Рассмотрим выражение $5\sqrt[3]{\frac{3}{4}}$. Сначала преобразуем дробь под знаком корня. Нам нужно, чтобы знаменатель стал полной третьей степенью.
Знаменатель равен $4 = 2^2$. Чтобы получить куб ($2^3$), нужно домножить на $2^{3-2} = 2^1 = 2$.
Домножим числитель и знаменатель дроби под корнем на 2:
$5\sqrt[3]{\frac{3}{4}} = 5\sqrt[3]{\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2}} = 5\sqrt[3]{\frac{6}{8}}$.
Теперь извлечем корень из знаменателя:
$5\sqrt[3]{\frac{6}{8}} = 5 \cdot \frac{\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{8}} = 5 \cdot \frac{\sqrt[3]{6}}{2} = \frac{5}{2}\sqrt[3]{6}$.
Под знаком корня теперь находится целое число 6.
Ответ: $\frac{5}{2}\sqrt[3]{6}$.

г) В выражении $\sqrt[3]{\frac{4}{5}}$ подкоренное выражение является дробью. Чтобы избавиться от дроби, домножим числитель и знаменатель на такое число, чтобы знаменатель стал полной третьей степенью.
Знаменатель равен 5. Чтобы получить $5^3$, нужно домножить на $5^{3-1} = 5^2 = 25$.
$\sqrt[3]{\frac{4}{5}} = \sqrt[3]{\frac{4 \cdot 25}{5 \cdot 25}} = \sqrt[3]{\frac{100}{125}}$.
Теперь извлечем корень из знаменателя:
$\sqrt[3]{\frac{100}{125}} = \frac{\sqrt[3]{100}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{\sqrt[3]{100}}{5}$.
Под знаком корня находится целое число 100.
Ответ: $\frac{\sqrt[3]{100}}{5}$.

328. Упростите выражение:

а) $ (\sqrt[4]{a}-1)(\sqrt[4]{a}+1); $

б) $ (\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}); $

в) $ (\sqrt[3]{m}-\sqrt[4]{m})(\sqrt[4]{m}+\sqrt[3]{m}); $

г) $ (\sqrt[4]{p}-\sqrt[3]{p^2})(\sqrt[3]{p^2}+\sqrt[4]{p}). $

а) Данное выражение представляет собой произведение разности и суммы двух выражений. Для его упрощения воспользуемся формулой сокращенного умножения "разность квадратов": $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

В нашем случае $x = \sqrt[4]{a}$ и $y = 1$.

Подставим эти значения в формулу:

$(\sqrt[4]{a} - 1)(\sqrt[4]{a} + 1) = (\sqrt[4]{a})^2 - 1^2$

Теперь упростим полученное выражение. Для этого представим корень в виде степени с дробным показателем: $\sqrt[n]{b^m} = b^{m/n}$.

$(\sqrt[4]{a})^2 = (a^{1/4})^2 = a^{(1/4) \cdot 2} = a^{2/4} = a^{1/2} = \sqrt{a}$.

Второй член: $1^2 = 1$.

Следовательно, итоговое выражение равно $\sqrt{a} - 1$.

Ответ: $\sqrt{a} - 1$.

б) Это выражение также является произведением суммы и разности, поэтому мы снова используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

Здесь $a = \sqrt[4]{x}$ и $b = \sqrt[4]{y}$.

Применяем формулу:

$(\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{y})(\sqrt[4]{x} - \sqrt[4]{y}) = (\sqrt[4]{x})^2 - (\sqrt[4]{y})^2$

Упростим каждый член, используя свойство степеней:

$(\sqrt[4]{x})^2 = (x^{1/4})^2 = x^{2/4} = x^{1/2} = \sqrt{x}$.

$(\sqrt[4]{y})^2 = (y^{1/4})^2 = y^{2/4} = y^{1/2} = \sqrt{y}$.

В результате получаем: $\sqrt{x} - \sqrt{y}$.

Ответ: $\sqrt{x} - \sqrt{y}$.

в) Чтобы привести выражение к стандартному виду формулы разности квадратов, поменяем слагаемые во второй скобке местами (от перемены мест слагаемых сумма не меняется).

$(\sqrt[3]{m} - \sqrt[4]{m})(\sqrt[4]{m} + \sqrt[3]{m}) = (\sqrt[3]{m} - \sqrt[4]{m})(\sqrt[3]{m} + \sqrt[4]{m})$

Теперь мы можем применить формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = \sqrt[3]{m}$ и $b = \sqrt[4]{m}$.

$(\sqrt[3]{m} - \sqrt[4]{m})(\sqrt[3]{m} + \sqrt[4]{m}) = (\sqrt[3]{m})^2 - (\sqrt[4]{m})^2$

Упростим каждый член:

$(\sqrt[3]{m})^2 = (m^{1/3})^2 = m^{2/3} = \sqrt[3]{m^2}$.

$(\sqrt[4]{m})^2 = (m^{1/4})^2 = m^{2/4} = m^{1/2} = \sqrt{m}$.

Итоговое выражение: $\sqrt[3]{m^2} - \sqrt{m}$.

Ответ: $\sqrt[3]{m^2} - \sqrt{m}$.

г) Аналогично предыдущему пункту, поменяем местами слагаемые во второй скобке, чтобы использовать формулу разности квадратов.

$(\sqrt[4]{p} - \sqrt[3]{p^2})(\sqrt[3]{p^2} + \sqrt[4]{p}) = (\sqrt[4]{p} - \sqrt[3]{p^2})(\sqrt[4]{p} + \sqrt[3]{p^2})$

Применим формулу $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = \sqrt[4]{p}$ и $b = \sqrt[3]{p^2}$.

$(\sqrt[4]{p} - \sqrt[3]{p^2})(\sqrt[4]{p} + \sqrt[3]{p^2}) = (\sqrt[4]{p})^2 - (\sqrt[3]{p^2})^2$

Упростим каждый член:

$(\sqrt[4]{p})^2 = (p^{1/4})^2 = p^{2/4} = p^{1/2} = \sqrt{p}$.

$(\sqrt[3]{p^2})^2 = (p^{2/3})^2 = p^{4/3} = \sqrt[3]{p^4}$.

Выражение $\sqrt[3]{p^4}$ можно упростить, вынеся множитель из-под знака корня, так как степень подкоренного выражения больше показателя корня: $\sqrt[3]{p^4} = \sqrt[3]{p^3 \cdot p} = \sqrt[3]{p^3}\sqrt[3]{p} = p\sqrt[3]{p}$.

Таким образом, итоговое выражение равно $\sqrt{p} - p\sqrt[3]{p}$.

Ответ: $\sqrt{p} - p\sqrt[3]{p}$.