Страница 93 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

298. Для каких чисел k справедливо равенство:

а) $ \sqrt{(k-1)^2} = 1-k $;

б) $ \sqrt{(1+k)^2} = -1-k? $

а)

Рассмотрим равенство $\sqrt{(k-1)^2} = 1-k$.
Основное свойство арифметического квадратного корня заключается в том, что $\sqrt{a^2} = |a|$. Применяя это свойство к левой части уравнения, мы получаем:
$\sqrt{(k-1)^2} = |k-1|$.
Таким образом, исходное равенство принимает вид:
$|k-1| = 1-k$.
Заметим, что выражение в правой части, $1-k$, является противоположным выражению под знаком модуля, $k-1$, поскольку $1-k = -(k-1)$.
Равенство вида $|A| = -A$ истинно тогда и только тогда, когда выражение $A$ является неположительным, то есть $A \le 0$.
В данном случае $A = k-1$. Следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы выполнялось неравенство:
$k-1 \le 0$.
Решив это простое неравенство, получаем:
$k \le 1$.

Ответ: $k \le 1$.

б)

Рассмотрим равенство $\sqrt{(1+k)^2} = -1-k$.
Так же, как и в предыдущем пункте, воспользуемся свойством $\sqrt{a^2} = |a|$. Преобразуем левую часть:
$\sqrt{(1+k)^2} = |1+k|$.
Исходное равенство можно переписать в виде:
$|1+k| = -1-k$.
Вынесем знак минуса за скобки в правой части уравнения:
$-1-k = -(1+k)$.
Теперь наше уравнение имеет вид $|1+k| = -(1+k)$.
Это равенство, как и в пункте а), соответствует форме $|A| = -A$, где $A = 1+k$. Оно справедливо только тогда, когда подмодульное выражение неположительно:
$A \le 0$.
Подставляем наше выражение для $A$:
$1+k \le 0$.
Решаем неравенство относительно $k$:
$k \le -1$.

Ответ: $k \le -1$.

299. Упростите выражение $\sqrt[4]{(x+1)^4}$, если:

а) $x \geq -1$;

б) $x < -1$.

а) Для упрощения выражения воспользуемся свойством корня четной степени: $\sqrt[2k]{a^{2k}} = |a|$ для любого действительного числа $a$. В данном случае показатель корня и степень подкоренного выражения равны 4 (четное число), поэтому:
$\sqrt[4]{(x+1)^4} = |x+1|$.
По условию $x \ge -1$. Это означает, что выражение под знаком модуля $x+1$ является неотрицательным, то есть $x+1 \ge 0$.
Согласно определению абсолютной величины, если выражение под знаком модуля неотрицательно, то модуль равен самому выражению. Таким образом, $|x+1| = x+1$.
Ответ: $x+1$

б) Аналогично предыдущему пункту, начинаем с применения свойства корня четной степени:
$\sqrt[4]{(x+1)^4} = |x+1|$.
По условию $x < -1$. Это означает, что выражение под знаком модуля $x+1$ является отрицательным, то есть $x+1 < 0$.
Согласно определению абсолютной величины, если выражение под знаком модуля отрицательно, то модуль равен противоположному ему выражению. Таким образом, $|x+1| = -(x+1)$.
Раскрыв скобки, получаем $-x-1$.
Ответ: $-x-1$

300. Докажите, что значение выражения:

а) $\sqrt[4]{17-12\sqrt{2}}-\sqrt{2}$;

б) $\sqrt[4]{97-56\sqrt{3}}+\sqrt{3}$

является целым числом.

а) Докажем, что значение выражения $\sqrt[4]{17 - 12\sqrt{2}} - \sqrt{2}$ является целым числом.

Для этого упростим радикал $\sqrt[4]{17 - 12\sqrt{2}}$. Этот вид выражений называется сложным радикалом. Упрощение можно произвести, представив подкоренное выражение в виде полного квадрата.

1. Упростим выражение под корнем четвертой степени: $17 - 12\sqrt{2}$. Попытаемся представить его в виде квадрата разности $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Сравнивая с нашим выражением, мы должны найти такие $a$ и $b$, что $a^2 + b^2 = 17$ и $2ab = 12\sqrt{2}$. Из второго равенства получаем $ab = 6\sqrt{2}$.

Можно подобрать значения. Пусть $a=3$ и $b=2\sqrt{2}$. Проверим, выполняется ли первое равенство:$a^2 + b^2 = 3^2 + (2\sqrt{2})^2 = 9 + 4 \cdot 2 = 9 + 8 = 17$.Равенство выполняется. Значит, мы можем записать:$17 - 12\sqrt{2} = (3 - 2\sqrt{2})^2$.Так как $3 = \sqrt{9}$, а $2\sqrt{2} = \sqrt{8}$, то $3 - 2\sqrt{2} > 0$.

2. Теперь мы можем извлечь корень:

$\sqrt[4]{17 - 12\sqrt{2}} = \sqrt[4]{(3 - 2\sqrt{2})^2} = \sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$.

3. Упростим полученный радикал $\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}$. Снова применим тот же метод. Ищем $c$ и $d$ такие, что $c^2 + d^2 = 3$ и $2cd = 2\sqrt{2}$, откуда $cd = \sqrt{2}$.

Подберем значения: пусть $c = \sqrt{2}$ и $d = 1$. Проверим сумму квадратов:$c^2 + d^2 = (\sqrt{2})^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3$.Равенство выполняется. Следовательно:$3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^2$.Так как $\sqrt{2} > 1$, то $\sqrt{2} - 1 > 0$.

4. Извлекаем корень:

$\sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = \sqrt{2} - 1$.

5. Таким образом, мы нашли, что $\sqrt[4]{17 - 12\sqrt{2}} = \sqrt{2} - 1$. Подставим это в исходное выражение:

$(\sqrt{2} - 1) - \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1 - \sqrt{2} = -1$.

Значение выражения равно -1, что является целым числом. Доказано.

Ответ: -1.

б) Докажем, что значение выражения $\sqrt[4]{97 - 56\sqrt{3}} + \sqrt{3}$ является целым числом.

Действуем аналогично пункту а), упрощая сложный радикал.

1. Упростим выражение под корнем $97 - 56\sqrt{3}$. Представим его в виде $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. Нам нужно, чтобы $a^2 + b^2 = 97$ и $2ab = 56\sqrt{3}$, то есть $ab = 28\sqrt{3}$.

Подберем значения. Пусть $a=7$ и $b=4\sqrt{3}$. Проверим сумму квадратов:$a^2 + b^2 = 7^2 + (4\sqrt{3})^2 = 49 + 16 \cdot 3 = 49 + 48 = 97$.Равенство выполняется. Значит:$97 - 56\sqrt{3} = (7 - 4\sqrt{3})^2$.Так как $7 = \sqrt{49}$, а $4\sqrt{3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$, то $7 - 4\sqrt{3} > 0$.

2. Извлекаем корень:

$\sqrt[4]{97 - 56\sqrt{3}} = \sqrt[4]{(7 - 4\sqrt{3})^2} = \sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$.

3. Упростим радикал $\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$. Ищем $c$ и $d$ такие, что $c^2 + d^2 = 7$ и $2cd = 4\sqrt{3}$, то есть $cd = 2\sqrt{3}$.

Пусть $c=2$ и $d=\sqrt{3}$. Проверим сумму квадратов:$c^2 + d^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 = 4 + 3 = 7$.Равенство выполняется. Следовательно:$7 - 4\sqrt{3} = (2 - \sqrt{3})^2$.Так как $2 = \sqrt{4}$, то $2 - \sqrt{3} > 0$.

4. Извлекаем корень:

$\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})^2} = 2 - \sqrt{3}$.

5. Мы получили, что $\sqrt[4]{97 - 56\sqrt{3}} = 2 - \sqrt{3}$. Подставим это в исходное выражение:

$(2 - \sqrt{3}) + \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2$.

Значение выражения равно 2, что является целым числом. Доказано.

Ответ: 2.

Решите уравнение (301–302):

301. a) $x^4 = 15;$

б) $x^3 = 26;$

в) $x^5 = 31;$

г) $x^6 = 2;$

д) $x^3 = -5;$

е) $x^4 = -4.$

а) Дано уравнение $x^4 = 15$. Показатель степени $n=4$ — четное число, а правая часть уравнения $a=15$ — положительное число. Уравнение такого вида ($x^{2k}=a$, где $a>0$) имеет два действительных корня, которые являются противоположными числами. Извлекая корень четвертой степени из обеих частей, получаем $x = \pm\sqrt[4]{15}$.
Ответ: $\pm\sqrt[4]{15}$.

б) Дано уравнение $x^3 = 26$. Показатель степени $n=3$ — нечетное число. Уравнение вида $x^{2k+1}=a$ всегда имеет один действительный корень для любого значения $a$. Чтобы найти корень, нужно извлечь кубический корень из правой части. Таким образом, $x = \sqrt[3]{26}$.
Ответ: $\sqrt[3]{26}$.

в) Дано уравнение $x^5 = 31$. Показатель степени $n=5$ — нечетное число. Аналогично предыдущему пункту, такое уравнение имеет единственный действительный корень. Извлекаем корень пятой степени из обеих частей уравнения и получаем $x = \sqrt[5]{31}$.
Ответ: $\sqrt[5]{31}$.

г) Дано уравнение $x^6 = 2$. Здесь показатель степени $n=6$ — четное число, а правая часть $a=2$ — положительное число. Следовательно, уравнение имеет два действительных корня. Извлекаем корень шестой степени из обеих частей уравнения, что дает нам $x = \pm\sqrt[6]{2}$.
Ответ: $\pm\sqrt[6]{2}$.

д) Дано уравнение $x^3 = -5$. Показатель степени $n=3$ — нечетное число. Корень нечетной степени можно извлекать из отрицательного числа. Уравнение имеет один действительный корень. Извлекаем кубический корень из обеих частей: $x = \sqrt[3]{-5}$. Это значение также можно записать как $-\sqrt[3]{5}$.
Ответ: $\sqrt[3]{-5}$.

е) Дано уравнение $x^4 = -4$. Показатель степени $n=4$ — четное число. Любое действительное число, возведенное в четную степень, дает в результате неотрицательное число, то есть $x^4 \ge 0$ для любого действительного $x$. Поскольку правая часть уравнения равна $-4$ (отрицательное число), данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел.
Ответ: нет действительных корней.

302. a) $x^4 - 3x^2 - 4 = 0;$

в) $x^8 + 5x^4 - 6 = 0;$

д) $x^8 - 5x^4 + 4 = 0;$

б) $x^6 - 3x^3 - 4 = 0;$

г) $x^8 - 7x^4 - 8 = 0;$

е) $x^8 + 7x^4 - 8 = 0.$

а) $x^4 - 3x^2 - 4 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $y \ge 0$.
Исходное уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $y$:

$y^2 - 3y - 4 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$.
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 5}{2} = 4$.
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 5}{2} = -1$.

Теперь вернемся к замене и учтем условие $y \ge 0$.
Корень $y_1 = 4$ удовлетворяет условию $y \ge 0$.
Корень $y_2 = -1$ не удовлетворяет условию, поэтому он является посторонним.
Итак, имеем $x^2 = 4$. Отсюда находим $x$: $x = \pm\sqrt{4}$, то есть $x = \pm 2$.

Ответ: $x = \pm 2$.

б) $x^6 - 3x^3 - 4 = 0$

Данное уравнение сводится к квадратному с помощью замены. Пусть $y = x^3$. Для $y$ нет ограничений по знаку.
Уравнение принимает вид:

$y^2 - 3y - 4 = 0$

Это то же самое квадратное уравнение, что и в пункте а), его корни $y_1 = 4$ и $y_2 = -1$.
Оба корня подходят. Выполним обратную замену для каждого корня:

1) Если $y = 4$, то $x^3 = 4$, откуда $x = \sqrt[3]{4}$.
2) Если $y = -1$, то $x^3 = -1$, откуда $x = \sqrt[3]{-1} = -1$.

Ответ: $x = -1; \sqrt[3]{4}$.

в) $x^8 + 5x^4 - 6 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^4$. Так как $x^4 \ge 0$, то и $y \ge 0$.
Уравнение примет вид:

$y^2 + 5y - 6 = 0$

Найдем корни по теореме Виета: $y_1 + y_2 = -5$ и $y_1 \cdot y_2 = -6$.
Корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -6$.
Проверим условие $y \ge 0$. Корень $y_1 = 1$ подходит, а корень $y_2 = -6$ — нет.
Выполняем обратную замену для подходящего корня:
$x^4 = 1$
Отсюда $x = \pm \sqrt[4]{1}$, то есть $x = \pm 1$.

Ответ: $x = \pm 1$.

г) $x^8 - 7x^4 - 8 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^4$, где $y \ge 0$.
Уравнение примет вид:

$y^2 - 7y - 8 = 0$

Найдем корни по теореме Виета: $y_1 + y_2 = 7$ и $y_1 \cdot y_2 = -8$.
Корни: $y_1 = 8$ и $y_2 = -1$.
Проверим условие $y \ge 0$. Корень $y_1 = 8$ подходит, а корень $y_2 = -1$ — нет.
Выполняем обратную замену:
$x^4 = 8$
Отсюда $x = \pm \sqrt[4]{8}$.

Ответ: $x = \pm \sqrt[4]{8}$.

д) $x^8 - 5x^4 + 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^4$, где $y \ge 0$.
Уравнение примет вид:

$y^2 - 5y + 4 = 0$

Найдем корни по теореме Виета: $y_1 + y_2 = 5$ и $y_1 \cdot y_2 = 4$.
Корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = 1$.
Оба корня положительны, значит, оба подходят.
Выполняем обратную замену для каждого корня:

1) Если $y = 4$, то $x^4 = 4$. Отсюда $x^2 = \sqrt{4} = 2$ (так как $x^2 \ge 0$). Тогда $x = \pm\sqrt{2}$.
2) Если $y = 1$, то $x^4 = 1$. Отсюда $x = \pm\sqrt[4]{1} = \pm 1$.

Ответ: $x = \pm 1; \pm\sqrt{2}$.

е) $x^8 + 7x^4 - 8 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $y = x^4$, где $y \ge 0$.
Уравнение примет вид:

$y^2 + 7y - 8 = 0$

Найдем корни по теореме Виета: $y_1 + y_2 = -7$ и $y_1 \cdot y_2 = -8$.
Корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -8$.
Проверим условие $y \ge 0$. Корень $y_1 = 1$ подходит, а корень $y_2 = -8$ — нет.
Выполняем обратную замену для подходящего корня:
$x^4 = 1$
Отсюда $x = \pm\sqrt[4]{1}$, то есть $x = \pm 1$.

Ответ: $x = \pm 1$.

303. Исследуем. Укажите все значения $a$, для каждого из которых уравнение $x^4=a$ имеет два корня; имеет единственный корень; не имеет корней.

Для того чтобы определить, при каких значениях параметра $a$ уравнение $x^4 = a$ имеет различное количество корней, необходимо проанализировать свойства функции $y = x^4$.

Левая часть уравнения, $x^4$, всегда является неотрицательным числом для любого действительного значения $x$, поскольку любое число, возведённое в чётную степень (в данном случае, 4), даёт неотрицательный результат. Таким образом, $x^4 \ge 0$. Количество действительных корней уравнения зависит от знака параметра $a$.

имеет два корня

Уравнение имеет два различных действительных корня, если его правая часть, параметр $a$, является строго положительным числом, то есть $a > 0$. В этом случае существуют два числа, положительное и отрицательное, которые при возведении в четвёртую степень дадут $a$. Этими корнями являются $x_1 = \sqrt[4]{a}$ и $x_2 = -\sqrt[4]{a}$. Так как $a > 0$, эти два корня существуют и не равны друг другу.

Ответ: $a > 0$.

имеет единственный корень

Уравнение имеет ровно один корень, если параметр $a$ равен нулю. Уравнение при $a=0$ принимает вид $x^4 = 0$. Единственное действительное число, которое удовлетворяет этому равенству, — это $x = 0$. Следовательно, при $a=0$ уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $a = 0$.

не имеет корней

Уравнение не имеет действительных корней, если параметр $a$ является отрицательным числом, то есть $a < 0$. Как было указано выше, левая часть уравнения $x^4$ всегда неотрицательна ($x^4 \ge 0$), в то время как правая часть $a$ в этом случае отрицательна. Равенство между неотрицательным и отрицательным числом в множестве действительных чисел невозможно, поэтому при $a < 0$ уравнение не имеет решений.

Ответ: $a < 0$.