Страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

277. а) Что называют арифметическим корнем степени $n$ ($n \geq 2$) из числа $a$?

б) Для каких действительных чисел определён арифметический корень степени $n$ ($n \geq 2$) из данного числа?

в) Сколько существует арифметических корней степени $n$ ($n \geq 2$) из данного числа?

г) Верны ли для любого неотрицательного числа $a$ и любого натурального числа $n$ ($n \geq 2$) равенства $\sqrt[n]{a^n} = (\sqrt[n]{a})^n = a$?

д) Если $a^n = b^n$, то всегда ли $a = b$?

а) Арифметическим корнем степени $n$ (где $n$ — натуральное число, $n \ge 2$) из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число $b$, $n$-я степень которого равна $a$. Математически это записывается как $\sqrt[n]{a} = b$, что эквивалентно равенству $b^n = a$ при условиях $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
Ответ: Арифметическим корнем степени $n \ge 2$ из неотрицательного числа $a$ называют неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $a$.

б) Арифметический корень степени $n$ определён для любого неотрицательного действительного числа. Это означает, что число $a$, из которого извлекается корень (подкоренное выражение), должно удовлетворять условию $a \ge 0$.
Ответ: Для неотрицательных действительных чисел ($a \ge 0$).

в) Для любого неотрицательного числа $a$ существует только один арифметический корень степени $n$. Это связано с тем, что функция $y=x^n$ при $x \ge 0$ и $n \ge 2$ является строго возрастающей. Поэтому для любого значения $a \ge 0$ уравнение $x^n=a$ имеет ровно одно неотрицательное решение.
Ответ: Существует только один арифметический корень.

г) Да, данные равенства верны. Разберем каждое из них при условии, что $a \ge 0$ и $n \ge 2$ — натуральное число.
1. $(\sqrt[n]{a})^n = a$. Это равенство является определением арифметического корня. Если мы обозначим $b = \sqrt[n]{a}$, то по определению $b$ — это такое неотрицательное число, что $b^n=a$. Подставляя $b$ обратно, получаем $(\sqrt[n]{a})^n = a$.
2. $\sqrt[n]{a^n} = a$. По определению, $\sqrt[n]{a^n}$ — это неотрицательное число, при возведении которого в степень $n$ получится $a^n$. Так как по условию $a \ge 0$, то число $a$ само является таким неотрицательным числом, которое удовлетворяет этому условию: $a^n = a^n$.
Поскольку обе части, $\sqrt[n]{a^n}$ и $(\sqrt[n]{a})^n$, равны $a$, то все представленные равенства верны.
Ответ: Да, верны.

д) Нет, не всегда. Это утверждение зависит от четности показателя степени $n$.
• Если $n$ — нечетное число (3, 5, 7, ...), то из равенства $a^n = b^n$ действительно следует, что $a = b$. Например, из $a^3 = b^3$ следует $a=b$.
• Если $n$ — четное число (2, 4, 6, ...), то из $a^n = b^n$ следует, что $|a| = |b|$, то есть $a=b$ или $a=-b$. Например, если $n=2$, то $3^2 = 9$ и $(-3)^2 = 9$. Таким образом, $3^2 = (-3)^2$, но $3 \ne -3$.
Поскольку вопрос стоит "всегда ли", то наличие хотя бы одного контрпримера делает утверждение в общем виде ложным.
Ответ: Нет, не всегда. Это верно только для нечетных $n$. Для четных $n$ из $a^n=b^n$ следует, что $a=\pm b$.

Верно ли равенство (278—279):

278. a) $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, где $n \in N, n \ge 2, a \ge 0 \text{ и } b \ge 0;$

б) $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, где $n \in N, n \ge 2, a \ge 0 \text{ и } b > 0;$

в) $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, где $n \in N, n \ge 2, a < 0 \text{ и } b < 0;$

г) $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, где $n \in N, n \ge 2, a < 0 \text{ и } b < 0?$

а) Да, данное равенство верно. Это одно из основных свойств корня n-ой степени для неотрицательных чисел. По определению, арифметический корень n-ой степени $\sqrt[n]{x}$ из неотрицательного числа $x$ – это такое неотрицательное число $y$, что $y^n=x$. В данном случае $a \ge 0$ и $b \ge 0$, поэтому $a \cdot b \ge 0$, и все корни в равенстве определены и неотрицательны. Чтобы доказать равенство $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, достаточно показать, что n-ая степень правой части равна подкоренному выражению левой части. Возведем правую часть в степень $n$: $(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b})^n = (\sqrt[n]{a})^n \cdot (\sqrt[n]{b})^n = a \cdot b$. Так как правая часть $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ неотрицательна и ее n-ая степень равна $a \cdot b$, то она и является корнем n-ой степени из $a \cdot b$.
Ответ: Верно.

б) Да, данное равенство верно. Это также одно из основных свойств корня n-ой степени. Условия $a \ge 0$ и $b > 0$ гарантируют, что все выражения определены (в частности, знаменатель не равен нулю). Докажем равенство $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, возведя правую часть в степень $n$: $\left(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\right)^n = \frac{(\sqrt[n]{a})^n}{(\sqrt[n]{b})^n} = \frac{a}{b}$. Правая часть $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ является неотрицательным числом (так как $a \ge 0, b > 0$), и ее n-ая степень равна $\frac{a}{b}$. Следовательно, по определению арифметического корня, равенство справедливо.
Ответ: Верно.

в) Нет, данное равенство в общем случае неверно. Проблема возникает, когда показатель корня $n$ является четным числом. Если $n$ — четное число, то корень n-ой степени из отрицательного числа (в данном случае $a < 0$ и $b < 0$) не определен в множестве действительных чисел. Таким образом, правая часть равенства $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ не имеет смысла. В то же время, левая часть $\sqrt[n]{a \cdot b}$ определена, так как произведение двух отрицательных чисел $a \cdot b$ положительно. Например, пусть $n=2$, $a=-4$, $b=-9$: Левая часть: $\sqrt{(-4) \cdot (-9)} = \sqrt{36} = 6$. Правая часть: $\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9}$. Эти выражения не определены в действительных числах. Поскольку равенство должно выполняться для любого $n \ge 2$, а оно не выполняется для четных $n$, то общее утверждение неверно. (Стоит отметить, что для нечетных $n$ равенство было бы верным).
Ответ: Неверно.

г) Нет, данное равенство в общем случае неверно по той же причине, что и в пункте в). Если показатель корня $n$ является четным числом, то выражения $\sqrt[n]{a}$ и $\sqrt[n]{b}$ при $a < 0$ и $b < 0$ не определены в множестве действительных чисел. Следовательно, правая часть $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ не имеет смысла. При этом левая часть $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ определена, так как частное двух отрицательных чисел $\frac{a}{b}$ является положительным числом. Например, пусть $n=2$, $a=-16$, $b=-4$: Левая часть: $\sqrt{\frac{-16}{-4}} = \sqrt{4} = 2$. Правая часть: $\frac{\sqrt{-16}}{\sqrt{-4}}$. Знаменатель и числитель не определены в действительных числах. Так как равенство не выполняется для четных значений $n$, общее утверждение неверно. (Для нечетных $n$ это равенство было бы верным).
Ответ: Неверно.

279. $ \sqrt[2m+1]{-a} = -\sqrt[2m+1]{a} $, где $m \in N$, $a$ — любое действительное число?

Для ответа на данный вопрос проанализируем равенство $\sqrt[2m+1]{-a} = -\sqrt[2m+1]{a}$ и условия, при которых оно должно выполняться.

Показатель корня равен $2m+1$. По условию, $m \in \mathbb{N}$, то есть $m$ — это натуральное число ($1, 2, 3, \ldots$). Это означает, что $2m$ является четным натуральным числом ($2, 4, 6, \ldots$), а показатель корня $n = 2m+1$ — нечетным натуральным числом ($3, 5, 7, \ldots$).

Для корней нечетной степени существует фундаментальное свойство: для любого действительного числа $x$ и любого нечетного натурального числа $n$ справедливо тождество:$\sqrt[n]{-x} = -\sqrt[n]{x}$

Данное тождество справедливо, поскольку корень нечетной степени определен для всех действительных чисел (как положительных, так и отрицательных, и нуля) и является нечетной функцией. Докажем это тождество формально.

Пусть $y = -\sqrt[n]{x}$. Чтобы доказать, что $y$ равен $\sqrt[n]{-x}$, нам нужно показать, что $y$, возведенный в степень $n$, равен $-x$. Возведем обе части равенства $y = -\sqrt[n]{x}$ в степень $n$:$y^n = (-\sqrt[n]{x})^n$

Так как $n$ — нечетное число, то $(-1)^n = -1$. Поэтому мы можем вынести знак минус из-под знака степени:$y^n = (-1)^n (\sqrt[n]{x})^n = -(\sqrt[n]{x})^n$

По определению корня $n$-ой степени, $(\sqrt[n]{x})^n = x$. Следовательно:$y^n = -x$

Поскольку $y^n = -x$, то по определению корня $y = \sqrt[n]{-x}$.

Таким образом, мы доказали, что $-\sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{-x}$, что равносильно $\sqrt[n]{-x} = -\sqrt[n]{x}$.

Исходное равенство $\sqrt[2m+1]{-a} = -\sqrt[2m+1]{a}$ является частным случаем доказанного тождества, где в качестве нечетного показателя $n$ выступает $2m+1$, а в качестве действительного числа $x$ — число $a$. Так как тождество верно для любого нечетного $n$ и любого действительного $x$, то и исходное равенство верно при всех указанных условиях.

Ответ: да, равенство верно для любого натурального числа $m$ и любого действительного числа $a$.

280. Является ли следующая запись записью арифметического корня:

а) $\sqrt[3]{-2};$

б) $-\sqrt[4]{3};$

в) $\sqrt[3]{(-2)^2};$

г) $\sqrt[4]{(-3)^3}?$

Для того чтобы определить, является ли запись записью арифметического корня, необходимо вспомнить его определение.

Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа $a$ (где $n$ — натуральное число, $n \ge 2$) называется такое неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $a$.

Обозначение: $\sqrt[n]{a}$.

Ключевые условия для того, чтобы запись $\sqrt[n]{a}$ была записью арифметического корня:

• Показатель корня $n$ — натуральное число, $n \ge 2$.
• Подкоренное выражение $a$ — неотрицательное число ($a \ge 0$).

Проанализируем каждое выражение на соответствие этим условиям.

а) $\sqrt[3]{-2}$

В данном выражении подкоренное выражение $a = -2$. Так как $-2 < 0$, это выражение не является записью арифметического корня, поскольку для арифметического корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это корень нечетной степени из отрицательного числа, который существует в поле действительных чисел, но по определению не является арифметическим.

Ответ: нет.

б) $-\sqrt[4]{3}$

Рассмотрим саму запись корня: $\sqrt[4]{3}$. Здесь подкоренное выражение $a = 3$, что является неотрицательным числом ($3 > 0$). Таким образом, $\sqrt[4]{3}$ — это запись арифметического корня. Однако всё выражение $-\sqrt[4]{3}$ представляет собой число, противоположное арифметическому корню, то есть отрицательное число. Арифметический корень по определению является неотрицательным числом. Следовательно, сама запись $-\sqrt[4]{3}$ не является записью арифметического корня, а является числом, противоположным ему.

Ответ: нет.

в) $\sqrt[3]{(-2)^2}$

Сначала упростим подкоренное выражение: $a = (-2)^2 = 4$. Таким образом, запись эквивалентна $\sqrt[3]{4}$. В этом выражении подкоренное выражение $a = 4$ является неотрицательным ($4 > 0$), а показатель корня $n = 3$ — натуральное число. Следовательно, все условия определения арифметического корня выполнены.

Ответ: да.

г) $\sqrt[4]{(-3)^3}$

Сначала упростим подкоренное выражение: $a = (-3)^3 = -27$. Таким образом, запись эквивалентна $\sqrt[4]{-27}$. В данном выражении подкоренное выражение $a = -27$ является отрицательным ($-27 < 0$). Это нарушает условие неотрицательности подкоренного выражения для арифметического корня. (Более того, корень четной степени из отрицательного числа не определён в множестве действительных чисел).

Ответ: нет.

281. Вычислите арифметические корни:

а) $\sqrt[3]{(-8)^2}$;

б) $\sqrt[4]{10000}$;

в) $\sqrt[5]{2 \cdot 16}$;

г) $\sqrt[6]{9 \cdot 81}$.

а) Чтобы вычислить $\sqrt[3]{(-8)^2}$, сначала выполним действие в скобках под корнем. Возведем -8 в квадрат: $(-8)^2 = 64$.
Теперь выражение принимает вид $\sqrt[3]{64}$.
Арифметический корень третьей степени из 64 — это число, которое при возведении в куб дает 64. Мы знаем, что $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.
Следовательно, $\sqrt[3]{(-8)^2} = \sqrt[3]{64} = 4$.
Ответ: 4

б) Чтобы вычислить $\sqrt[4]{10000}$, необходимо найти такое неотрицательное число, которое при возведении в четвертую степень даст 10000.
Представим 10000 в виде степени числа 10. Так как $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4 = 10000$, то мы ищем $\sqrt[4]{10^4}$.
По определению арифметического корня, $\sqrt[n]{a^n} = a$ для $a \ge 0$.
Таким образом, $\sqrt[4]{10000} = 10$.
Ответ: 10

в) Чтобы вычислить $\sqrt[5]{2 \cdot 16}$, сначала выполним умножение под знаком корня: $2 \cdot 16 = 32$.
Теперь нам нужно найти корень пятой степени из 32, то есть $\sqrt[5]{32}$.
Искомое число — это число, которое при возведении в пятую степень равно 32. Проверим число 2: $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
Следовательно, $\sqrt[5]{2 \cdot 16} = \sqrt[5]{32} = 2$.
Ответ: 2

г) Чтобы вычислить $\sqrt[6]{9 \cdot 81}$, можно использовать свойство корня $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ или представить подкоренное выражение как степень одного числа.
Воспользуемся вторым способом. Представим числа 9 и 81 как степени числа 3: $9 = 3^2$ и $81 = 3^4$.
Тогда подкоренное выражение $9 \cdot 81 = 3^2 \cdot 3^4$. По свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем $3^{2+4} = 3^6$.
Наше выражение принимает вид $\sqrt[6]{3^6}$.
По определению арифметического корня, $\sqrt[n]{a^n} = a$ для $a \ge 0$.
Значит, $\sqrt[6]{3^6} = 3$.
Ответ: 3

Вычислите (282–286):

282. а) $\sqrt[3]{1000} - \sqrt[4]{160000}$;

б) $\sqrt[5]{3200000} + \sqrt[3]{8000}$;

в) $\sqrt[3]{0,008} + \sqrt[4]{0,0625}$;

г) $4\sqrt{\frac{1}{81}} - 3\sqrt[3]{\frac{1}{125}}$.

а) Для вычисления выражения $\sqrt[3]{1000} - \sqrt[4]{160000}$ найдем значения каждого корня. Кубический корень из 1000 равен 10, так как $10^3 = 1000$. Корень четвертой степени из 160000 можно представить как $\sqrt[4]{16 \cdot 10000}$. Так как $\sqrt[4]{16} = 2$ и $\sqrt[4]{10000} = 10$, то $\sqrt[4]{160000} = 2 \cdot 10 = 20$. Выполним вычитание: $10 - 20 = -10$.
Ответ: -10

б) Для вычисления выражения $\sqrt[5]{3200000} + \sqrt[3]{8000}$ найдем значения каждого корня. Корень пятой степени из 3200000 равен 20, так как $20^5 = 2^5 \cdot 10^5 = 32 \cdot 100000 = 3200000$. Кубический корень из 8000 равен 20, так как $20^3 = 2^3 \cdot 10^3 = 8 \cdot 1000 = 8000$. Выполним сложение: $20 + 20 = 40$.
Ответ: 40

в) Для вычисления выражения $\sqrt[3]{0,008} + \sqrt[4]{0,0625}$ найдем значения каждого корня. Кубический корень из 0,008 равен 0,2, так как $0,2^3 = 0,008$. Корень четвертой степени из 0,0625 равен 0,5, так как $0,5^4 = 0,0625$. Выполним сложение: $0,2 + 0,5 = 0,7$.
Ответ: 0,7

г) Для вычисления выражения $\sqrt[4]{\frac{1}{81}} - \sqrt[3]{\frac{1}{125}}$ найдем значения каждого корня. Используя свойство корня из дроби, имеем: $\sqrt[4]{\frac{1}{81}} = \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{81}} = \frac{1}{3}$, так как $3^4=81$. Аналогично, $\sqrt[3]{\frac{1}{125}} = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{1}{5}$, так как $5^3=125$. Теперь выполним вычитание дробей: $\frac{1}{3} - \frac{1}{5}$. Приведя к общему знаменателю 15, получим: $\frac{5}{15} - \frac{3}{15} = \frac{2}{15}$.
Ответ: $\frac{2}{15}$

283. а) $\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27};$

б) $\sqrt[3]{125 \cdot 27};$

в) $\sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{625};$

г) $\sqrt[4]{81 \cdot 16};$

д) $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4};$

е) $\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{2};$

ж) $\sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{125};$

з) $\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{24}.$

а) Для вычисления произведения корней одной и той же степени, можно вычислить каждый корень по отдельности, а затем перемножить результаты.
Найдем корень кубический из 8: $\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.
Найдем корень кубический из 27: $\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$.
Теперь перемножим полученные значения:
$\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27} = 2 \cdot 3 = 6$.
Ответ: 6

б) Используем свойство корня из произведения: корень n-ой степени из произведения равен произведению корней n-ой степени из каждого множителя: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
$\sqrt[3]{125 \cdot 27} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{27}$.
Вычислим каждый корень: $\sqrt[3]{125} = 5$ (поскольку $5^3 = 125$) и $\sqrt[3]{27} = 3$ (поскольку $3^3 = 27$).
Перемножим результаты: $5 \cdot 3 = 15$.
Ответ: 15

в) Применим свойство корня из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
$\sqrt[4]{16 \cdot 625} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{625}$.
Найдем значение каждого корня: $\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 16$.
$\sqrt[4]{625} = 5$, так как $5^4 = 625$.
Перемножим полученные значения: $2 \cdot 5 = 10$.
Ответ: 10

г) Используем то же свойство, что и в предыдущих примерах: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
$\sqrt[4]{81 \cdot 16} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{16}$.
Вычислим корни: $\sqrt[4]{81} = 3$ (поскольку $3^4 = 81$) и $\sqrt[4]{16} = 2$ (поскольку $2^4 = 16$).
Найдем их произведение: $3 \cdot 2 = 6$.
Ответ: 6

д) Для вычисления произведения корней с одинаковым показателем степени, воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2 \cdot 4} = \sqrt[3]{8}$.
Корень кубический из 8 равен 2, так как $2^3 = 8$.
$\sqrt[3]{8} = 2$.
Ответ: 2

е) Применим свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{2} = \sqrt[5]{16 \cdot 2} = \sqrt[5]{32}$.
Корень пятой степени из 32 равен 2, так как $2^5 = 32$.
$\sqrt[5]{32} = 2$.
Ответ: 2

ж) Используем свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{125} = \sqrt[4]{5 \cdot 125} = \sqrt[4]{625}$.
Корень четвертой степени из 625 равен 5, так как $5^4 = 625$.
$\sqrt[4]{625} = 5$.
Ответ: 5

з) Воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$ и объединим подкоренные выражения.
$\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{9 \cdot 24}$.
Чтобы упростить вычисление, разложим подкоренное выражение на множители: $9 = 3^2$ и $24 = 3 \cdot 8 = 3 \cdot 2^3$.
$\sqrt[3]{9 \cdot 24} = \sqrt[3]{(3^2) \cdot (3 \cdot 2^3)} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2^3}$.
Используя свойство $\sqrt[n]{a^n \cdot b^n} = \sqrt[n]{(a \cdot b)^n} = a \cdot b$, получаем:
$\sqrt[3]{3^3 \cdot 2^3} = \sqrt[3]{(3 \cdot 2)^3} = \sqrt[3]{6^3} = 6$.
Ответ: 6

284. a) $\sqrt[3]{2}(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{500});$

б) $\sqrt[4]{5}(\sqrt[4]{2000} - \sqrt[4]{125});$

в) $\sqrt[3]{0,81} \cdot \sqrt[3]{0,9};$

г) $\sqrt[4]{8} \cdot \sqrt[4]{1250}.$

а) $\sqrt[3]{2}(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{500})$

Для решения этого примера раскроем скобки, умножив $\sqrt[3]{2}$ на каждый член внутри скобок. Используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{500} = \sqrt[3]{2 \cdot 4} + \sqrt[3]{2 \cdot 500} = \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{1000}$

Теперь вычислим значения кубических корней:

$\sqrt[3]{8} = 2$, поскольку $2^3 = 8$.

$\sqrt[3]{1000} = 10$, поскольку $10^3 = 1000$.

Сложим полученные результаты:

$2 + 10 = 12$

Ответ: $12$

б) $\sqrt[4]{5}(\sqrt[4]{2000} - \sqrt[4]{125})$

Раскроем скобки, умножив $\sqrt[4]{5}$ на каждый член в скобках. Применим свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

$\sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{2000} - \sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{125} = \sqrt[4]{5 \cdot 2000} - \sqrt[4]{5 \cdot 125} = \sqrt[4]{10000} - \sqrt[4]{625}$

Вычислим значения корней четвертой степени:

$\sqrt[4]{10000} = 10$, поскольку $10^4 = 10000$.

$\sqrt[4]{625} = 5$, поскольку $5^4 = 625$.

Выполним вычитание:

$10 - 5 = 5$

Ответ: $5$

в) $\sqrt[3]{0,81} \cdot \sqrt[3]{0,9}$

Используем свойство умножения корней с одинаковым показателем $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[3]{0,81 \cdot 0,9} = \sqrt[3]{0,729}$

Для удобства вычисления представим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби:

$0,729 = \frac{729}{1000}$

Теперь извлечем корень, используя свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:

$\sqrt[3]{\frac{729}{1000}} = \frac{\sqrt[3]{729}}{\sqrt[3]{1000}} = \frac{9}{10} = 0,9$

Ответ: $0,9$

г) $\sqrt[4]{8} \cdot \sqrt[4]{1250}$

Воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[4]{8 \cdot 1250}$

Перемножим числа под корнем:

$8 \cdot 1250 = 10000$

Получаем выражение:

$\sqrt[4]{10000}$

Вычислим корень четвертой степени:

$\sqrt[4]{10000} = 10$, так как $10^4 = 10000$.

Ответ: $10$

285. а) $ \sqrt[5]{8} \cdot \sqrt[5]{4}; $

б) $ \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16}; $

в) $ \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{-2}; $

г) $ \sqrt[5]{-7} \cdot \sqrt[5]{49} \cdot \sqrt[5]{49}. $

а) Для решения используем свойство произведения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$. В данном случае показатель корня равен 5.

$\sqrt[5]{8} \cdot \sqrt[5]{4} = \sqrt[5]{8 \cdot 4} = \sqrt[5]{32}$

Так как $32$ можно представить в виде степени, а именно $32 = 2^5$, то:

$\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2$

Ответ: $2$.

б) Применяем то же свойство произведения корней с одинаковым показателем, который здесь равен 3.

$\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{4 \cdot 16} = \sqrt[3]{64}$

Поскольку $64$ является кубом числа 4 ($64 = 4^3$), получаем:

$\sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^3} = 4$

Ответ: $4$.

в) Свойство произведения корней распространяется и на три множителя. Показатель корня равен 3.

$\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{-2} = \sqrt[3]{4 \cdot 8 \cdot (-2)}$

Перемножаем подкоренные выражения:

$4 \cdot 8 \cdot (-2) = 32 \cdot (-2) = -64$

Получаем $\sqrt[3]{-64}$. Так как $(-4)^3 = -64$, то:

$\sqrt[3]{-64} = -4$

Ответ: $-4$.

г) Снова применяем свойство произведения корней с одинаковым показателем, равным 5.

$\sqrt[5]{-7} \cdot \sqrt[5]{49} \cdot \sqrt[5]{49} = \sqrt[5]{-7 \cdot 49 \cdot 49}$

Для удобства вычислений представим числа под корнем как степени семерки. Мы знаем, что $49 = 7^2$.

Подкоренное выражение равно:

$-7 \cdot 7^2 \cdot 7^2 = -(7^1 \cdot 7^2 \cdot 7^2) = -7^{1+2+2} = -7^5$

Тогда:

$\sqrt[5]{-7^5} = \sqrt[5]{(-7)^5} = -7$

Ответ: $-7$.

286. а) $(\sqrt[3]{-2})^3 + (\sqrt[5]{8})^5$;

б) $\sqrt[5]{-1} - \sqrt[3]{-8}$.

а) $(\sqrt[3]{-2})^3 + (\sqrt[5]{8})^5$
Для решения данного примера воспользуемся определением корня n-й степени. Согласно определению, для любого действительного числа $a$ и натурального числа $n > 1$ (для нечетного $n$ $a$ может быть любым, для четного $n$ $a \ge 0$) выполняется равенство $(\sqrt[n]{a})^n = a$. Это означает, что операция извлечения корня n-й степени и операция возведения в n-ю степень являются взаимообратными.
Применим это свойство к каждому слагаемому в выражении:
1. Для первого слагаемого $(\sqrt[3]{-2})^3$, степень корня равна 3 и показатель степени, в которую возводится корень, также равен 3. Следовательно:
$(\sqrt[3]{-2})^3 = -2$
2. Для второго слагаемого $(\sqrt[5]{8})^5$, степень корня равна 5 и показатель степени также равен 5. Следовательно:
$(\sqrt[5]{8})^5 = 8$
3. Теперь сложим полученные результаты:
$-2 + 8 = 6$
Таким образом, исходное выражение равно 6.
Ответ: 6

б) $\sqrt[5]{-1} - \sqrt[3]{-8}$
Для решения этого примера необходимо вычислить значения каждого корня по отдельности.
1. Вычислим первый член $\sqrt[5]{-1}$. Корень нечетной степени (в данном случае 5) из отрицательного числа существует и является отрицательным числом. Нам нужно найти число, которое при возведении в 5-ю степень даст -1. Таким числом является -1, так как:
$(-1)^5 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1$
Следовательно, $\sqrt[5]{-1} = -1$.
2. Вычислим второй член $\sqrt[3]{-8}$. Здесь также корень нечетной степени (3) из отрицательного числа. Нам нужно найти число, которое при возведении в 3-ю степень (в куб) даст -8. Таким числом является -2, так как:
$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$
Следовательно, $\sqrt[3]{-8} = -2$.
3. Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение и выполним вычитание:
$\sqrt[5]{-1} - \sqrt[3]{-8} = (-1) - (-2) = -1 + 2 = 1$
Ответ: 1