Номер 285, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

285. а) $ \sqrt[5]{8} \cdot \sqrt[5]{4}; $

б) $ \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16}; $

в) $ \sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{-2}; $

г) $ \sqrt[5]{-7} \cdot \sqrt[5]{49} \cdot \sqrt[5]{49}. $

а) Для решения используем свойство произведения корней одинаковой степени: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$. В данном случае показатель корня равен 5.

$\sqrt[5]{8} \cdot \sqrt[5]{4} = \sqrt[5]{8 \cdot 4} = \sqrt[5]{32}$

Так как $32$ можно представить в виде степени, а именно $32 = 2^5$, то:

$\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^5} = 2$

Ответ: $2$.

б) Применяем то же свойство произведения корней с одинаковым показателем, который здесь равен 3.

$\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{16} = \sqrt[3]{4 \cdot 16} = \sqrt[3]{64}$

Поскольку $64$ является кубом числа 4 ($64 = 4^3$), получаем:

$\sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^3} = 4$

Ответ: $4$.

в) Свойство произведения корней распространяется и на три множителя. Показатель корня равен 3.

$\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{-2} = \sqrt[3]{4 \cdot 8 \cdot (-2)}$

Перемножаем подкоренные выражения:

$4 \cdot 8 \cdot (-2) = 32 \cdot (-2) = -64$

Получаем $\sqrt[3]{-64}$. Так как $(-4)^3 = -64$, то:

$\sqrt[3]{-64} = -4$

Ответ: $-4$.

г) Снова применяем свойство произведения корней с одинаковым показателем, равным 5.

$\sqrt[5]{-7} \cdot \sqrt[5]{49} \cdot \sqrt[5]{49} = \sqrt[5]{-7 \cdot 49 \cdot 49}$

Для удобства вычислений представим числа под корнем как степени семерки. Мы знаем, что $49 = 7^2$.

Подкоренное выражение равно:

$-7 \cdot 7^2 \cdot 7^2 = -(7^1 \cdot 7^2 \cdot 7^2) = -7^{1+2+2} = -7^5$

Тогда:

$\sqrt[5]{-7^5} = \sqrt[5]{(-7)^5} = -7$

Ответ: $-7$.