Номер 283, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

283. а) $\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27};$

б) $\sqrt[3]{125 \cdot 27};$

в) $\sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{625};$

г) $\sqrt[4]{81 \cdot 16};$

д) $\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4};$

е) $\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{2};$

ж) $\sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{125};$

з) $\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{24}.$

а) Для вычисления произведения корней одной и той же степени, можно вычислить каждый корень по отдельности, а затем перемножить результаты.
Найдем корень кубический из 8: $\sqrt[3]{8} = 2$, так как $2^3 = 8$.
Найдем корень кубический из 27: $\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$.
Теперь перемножим полученные значения:
$\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{27} = 2 \cdot 3 = 6$.
Ответ: 6

б) Используем свойство корня из произведения: корень n-ой степени из произведения равен произведению корней n-ой степени из каждого множителя: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
$\sqrt[3]{125 \cdot 27} = \sqrt[3]{125} \cdot \sqrt[3]{27}$.
Вычислим каждый корень: $\sqrt[3]{125} = 5$ (поскольку $5^3 = 125$) и $\sqrt[3]{27} = 3$ (поскольку $3^3 = 27$).
Перемножим результаты: $5 \cdot 3 = 15$.
Ответ: 15

в) Применим свойство корня из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
$\sqrt[4]{16 \cdot 625} = \sqrt[4]{16} \cdot \sqrt[4]{625}$.
Найдем значение каждого корня: $\sqrt[4]{16} = 2$, так как $2^4 = 16$.
$\sqrt[4]{625} = 5$, так как $5^4 = 625$.
Перемножим полученные значения: $2 \cdot 5 = 10$.
Ответ: 10

г) Используем то же свойство, что и в предыдущих примерах: $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$.
$\sqrt[4]{81 \cdot 16} = \sqrt[4]{81} \cdot \sqrt[4]{16}$.
Вычислим корни: $\sqrt[4]{81} = 3$ (поскольку $3^4 = 81$) и $\sqrt[4]{16} = 2$ (поскольку $2^4 = 16$).
Найдем их произведение: $3 \cdot 2 = 6$.
Ответ: 6

д) Для вычисления произведения корней с одинаковым показателем степени, воспользуемся свойством $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} = \sqrt[3]{2 \cdot 4} = \sqrt[3]{8}$.
Корень кубический из 8 равен 2, так как $2^3 = 8$.
$\sqrt[3]{8} = 2$.
Ответ: 2

е) Применим свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[5]{16} \cdot \sqrt[5]{2} = \sqrt[5]{16 \cdot 2} = \sqrt[5]{32}$.
Корень пятой степени из 32 равен 2, так как $2^5 = 32$.
$\sqrt[5]{32} = 2$.
Ответ: 2

ж) Используем свойство произведения корней: $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$.
$\sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{125} = \sqrt[4]{5 \cdot 125} = \sqrt[4]{625}$.
Корень четвертой степени из 625 равен 5, так как $5^4 = 625$.
$\sqrt[4]{625} = 5$.
Ответ: 5

з) Воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \cdot b}$ и объединим подкоренные выражения.
$\sqrt[3]{9} \cdot \sqrt[3]{24} = \sqrt[3]{9 \cdot 24}$.
Чтобы упростить вычисление, разложим подкоренное выражение на множители: $9 = 3^2$ и $24 = 3 \cdot 8 = 3 \cdot 2^3$.
$\sqrt[3]{9 \cdot 24} = \sqrt[3]{(3^2) \cdot (3 \cdot 2^3)} = \sqrt[3]{3^3 \cdot 2^3}$.
Используя свойство $\sqrt[n]{a^n \cdot b^n} = \sqrt[n]{(a \cdot b)^n} = a \cdot b$, получаем:
$\sqrt[3]{3^3 \cdot 2^3} = \sqrt[3]{(3 \cdot 2)^3} = \sqrt[3]{6^3} = 6$.
Ответ: 6