Номер 278, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Верно ли равенство (278—279):

278. a) $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, где $n \in N, n \ge 2, a \ge 0 \text{ и } b \ge 0;$

б) $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, где $n \in N, n \ge 2, a \ge 0 \text{ и } b > 0;$

в) $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, где $n \in N, n \ge 2, a < 0 \text{ и } b < 0;$

г) $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, где $n \in N, n \ge 2, a < 0 \text{ и } b < 0?$

а) Да, данное равенство верно. Это одно из основных свойств корня n-ой степени для неотрицательных чисел. По определению, арифметический корень n-ой степени $\sqrt[n]{x}$ из неотрицательного числа $x$ – это такое неотрицательное число $y$, что $y^n=x$. В данном случае $a \ge 0$ и $b \ge 0$, поэтому $a \cdot b \ge 0$, и все корни в равенстве определены и неотрицательны. Чтобы доказать равенство $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, достаточно показать, что n-ая степень правой части равна подкоренному выражению левой части. Возведем правую часть в степень $n$: $(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b})^n = (\sqrt[n]{a})^n \cdot (\sqrt[n]{b})^n = a \cdot b$. Так как правая часть $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ неотрицательна и ее n-ая степень равна $a \cdot b$, то она и является корнем n-ой степени из $a \cdot b$.
Ответ: Верно.

б) Да, данное равенство верно. Это также одно из основных свойств корня n-ой степени. Условия $a \ge 0$ и $b > 0$ гарантируют, что все выражения определены (в частности, знаменатель не равен нулю). Докажем равенство $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$, возведя правую часть в степень $n$: $\left(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\right)^n = \frac{(\sqrt[n]{a})^n}{(\sqrt[n]{b})^n} = \frac{a}{b}$. Правая часть $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ является неотрицательным числом (так как $a \ge 0, b > 0$), и ее n-ая степень равна $\frac{a}{b}$. Следовательно, по определению арифметического корня, равенство справедливо.
Ответ: Верно.

в) Нет, данное равенство в общем случае неверно. Проблема возникает, когда показатель корня $n$ является четным числом. Если $n$ — четное число, то корень n-ой степени из отрицательного числа (в данном случае $a < 0$ и $b < 0$) не определен в множестве действительных чисел. Таким образом, правая часть равенства $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ не имеет смысла. В то же время, левая часть $\sqrt[n]{a \cdot b}$ определена, так как произведение двух отрицательных чисел $a \cdot b$ положительно. Например, пусть $n=2$, $a=-4$, $b=-9$: Левая часть: $\sqrt{(-4) \cdot (-9)} = \sqrt{36} = 6$. Правая часть: $\sqrt{-4} \cdot \sqrt{-9}$. Эти выражения не определены в действительных числах. Поскольку равенство должно выполняться для любого $n \ge 2$, а оно не выполняется для четных $n$, то общее утверждение неверно. (Стоит отметить, что для нечетных $n$ равенство было бы верным).
Ответ: Неверно.

г) Нет, данное равенство в общем случае неверно по той же причине, что и в пункте в). Если показатель корня $n$ является четным числом, то выражения $\sqrt[n]{a}$ и $\sqrt[n]{b}$ при $a < 0$ и $b < 0$ не определены в множестве действительных чисел. Следовательно, правая часть $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$ не имеет смысла. При этом левая часть $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ определена, так как частное двух отрицательных чисел $\frac{a}{b}$ является положительным числом. Например, пусть $n=2$, $a=-16$, $b=-4$: Левая часть: $\sqrt{\frac{-16}{-4}} = \sqrt{4} = 2$. Правая часть: $\frac{\sqrt{-16}}{\sqrt{-4}}$. Знаменатель и числитель не определены в действительных числах. Так как равенство не выполняется для четных значений $n$, общее утверждение неверно. (Для нечетных $n$ это равенство было бы верным).
Ответ: Неверно.