Номер 281, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

281. Вычислите арифметические корни:

а) $\sqrt[3]{(-8)^2}$;

б) $\sqrt[4]{10000}$;

в) $\sqrt[5]{2 \cdot 16}$;

г) $\sqrt[6]{9 \cdot 81}$.

а) Чтобы вычислить $\sqrt[3]{(-8)^2}$, сначала выполним действие в скобках под корнем. Возведем -8 в квадрат: $(-8)^2 = 64$.
Теперь выражение принимает вид $\sqrt[3]{64}$.
Арифметический корень третьей степени из 64 — это число, которое при возведении в куб дает 64. Мы знаем, что $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.
Следовательно, $\sqrt[3]{(-8)^2} = \sqrt[3]{64} = 4$.
Ответ: 4

б) Чтобы вычислить $\sqrt[4]{10000}$, необходимо найти такое неотрицательное число, которое при возведении в четвертую степень даст 10000.
Представим 10000 в виде степени числа 10. Так как $10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4 = 10000$, то мы ищем $\sqrt[4]{10^4}$.
По определению арифметического корня, $\sqrt[n]{a^n} = a$ для $a \ge 0$.
Таким образом, $\sqrt[4]{10000} = 10$.
Ответ: 10

в) Чтобы вычислить $\sqrt[5]{2 \cdot 16}$, сначала выполним умножение под знаком корня: $2 \cdot 16 = 32$.
Теперь нам нужно найти корень пятой степени из 32, то есть $\sqrt[5]{32}$.
Искомое число — это число, которое при возведении в пятую степень равно 32. Проверим число 2: $2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.
Следовательно, $\sqrt[5]{2 \cdot 16} = \sqrt[5]{32} = 2$.
Ответ: 2

г) Чтобы вычислить $\sqrt[6]{9 \cdot 81}$, можно использовать свойство корня $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$ или представить подкоренное выражение как степень одного числа.
Воспользуемся вторым способом. Представим числа 9 и 81 как степени числа 3: $9 = 3^2$ и $81 = 3^4$.
Тогда подкоренное выражение $9 \cdot 81 = 3^2 \cdot 3^4$. По свойству степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, получаем $3^{2+4} = 3^6$.
Наше выражение принимает вид $\sqrt[6]{3^6}$.
По определению арифметического корня, $\sqrt[n]{a^n} = a$ для $a \ge 0$.
Значит, $\sqrt[6]{3^6} = 3$.
Ответ: 3