Номер 280, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

280. Является ли следующая запись записью арифметического корня:

а) $\sqrt[3]{-2};$

б) $-\sqrt[4]{3};$

в) $\sqrt[3]{(-2)^2};$

г) $\sqrt[4]{(-3)^3}?$

Для того чтобы определить, является ли запись записью арифметического корня, необходимо вспомнить его определение.

Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа $a$ (где $n$ — натуральное число, $n \ge 2$) называется такое неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $a$.

Обозначение: $\sqrt[n]{a}$.

Ключевые условия для того, чтобы запись $\sqrt[n]{a}$ была записью арифметического корня:

• Показатель корня $n$ — натуральное число, $n \ge 2$.
• Подкоренное выражение $a$ — неотрицательное число ($a \ge 0$).

Проанализируем каждое выражение на соответствие этим условиям.

а) $\sqrt[3]{-2}$

В данном выражении подкоренное выражение $a = -2$. Так как $-2 < 0$, это выражение не является записью арифметического корня, поскольку для арифметического корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это корень нечетной степени из отрицательного числа, который существует в поле действительных чисел, но по определению не является арифметическим.

Ответ: нет.

б) $-\sqrt[4]{3}$

Рассмотрим саму запись корня: $\sqrt[4]{3}$. Здесь подкоренное выражение $a = 3$, что является неотрицательным числом ($3 > 0$). Таким образом, $\sqrt[4]{3}$ — это запись арифметического корня. Однако всё выражение $-\sqrt[4]{3}$ представляет собой число, противоположное арифметическому корню, то есть отрицательное число. Арифметический корень по определению является неотрицательным числом. Следовательно, сама запись $-\sqrt[4]{3}$ не является записью арифметического корня, а является числом, противоположным ему.

Ответ: нет.

в) $\sqrt[3]{(-2)^2}$

Сначала упростим подкоренное выражение: $a = (-2)^2 = 4$. Таким образом, запись эквивалентна $\sqrt[3]{4}$. В этом выражении подкоренное выражение $a = 4$ является неотрицательным ($4 > 0$), а показатель корня $n = 3$ — натуральное число. Следовательно, все условия определения арифметического корня выполнены.

Ответ: да.

г) $\sqrt[4]{(-3)^3}$

Сначала упростим подкоренное выражение: $a = (-3)^3 = -27$. Таким образом, запись эквивалентна $\sqrt[4]{-27}$. В данном выражении подкоренное выражение $a = -27$ является отрицательным ($-27 < 0$). Это нарушает условие неотрицательности подкоренного выражения для арифметического корня. (Более того, корень четной степени из отрицательного числа не определён в множестве действительных чисел).

Ответ: нет.