Номер 284, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

284. a) $\sqrt[3]{2}(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{500});$

б) $\sqrt[4]{5}(\sqrt[4]{2000} - \sqrt[4]{125});$

в) $\sqrt[3]{0,81} \cdot \sqrt[3]{0,9};$

г) $\sqrt[4]{8} \cdot \sqrt[4]{1250}.$

а) $\sqrt[3]{2}(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{500})$

Для решения этого примера раскроем скобки, умножив $\sqrt[3]{2}$ на каждый член внутри скобок. Используем свойство произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

$\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{500} = \sqrt[3]{2 \cdot 4} + \sqrt[3]{2 \cdot 500} = \sqrt[3]{8} + \sqrt[3]{1000}$

Теперь вычислим значения кубических корней:

$\sqrt[3]{8} = 2$, поскольку $2^3 = 8$.

$\sqrt[3]{1000} = 10$, поскольку $10^3 = 1000$.

Сложим полученные результаты:

$2 + 10 = 12$

Ответ: $12$

б) $\sqrt[4]{5}(\sqrt[4]{2000} - \sqrt[4]{125})$

Раскроем скобки, умножив $\sqrt[4]{5}$ на каждый член в скобках. Применим свойство $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$.

$\sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{2000} - \sqrt[4]{5} \cdot \sqrt[4]{125} = \sqrt[4]{5 \cdot 2000} - \sqrt[4]{5 \cdot 125} = \sqrt[4]{10000} - \sqrt[4]{625}$

Вычислим значения корней четвертой степени:

$\sqrt[4]{10000} = 10$, поскольку $10^4 = 10000$.

$\sqrt[4]{625} = 5$, поскольку $5^4 = 625$.

Выполним вычитание:

$10 - 5 = 5$

Ответ: $5$

в) $\sqrt[3]{0,81} \cdot \sqrt[3]{0,9}$

Используем свойство умножения корней с одинаковым показателем $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[3]{0,81 \cdot 0,9} = \sqrt[3]{0,729}$

Для удобства вычисления представим подкоренное выражение в виде обыкновенной дроби:

$0,729 = \frac{729}{1000}$

Теперь извлечем корень, используя свойство корня из дроби $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$:

$\sqrt[3]{\frac{729}{1000}} = \frac{\sqrt[3]{729}}{\sqrt[3]{1000}} = \frac{9}{10} = 0,9$

Ответ: $0,9$

г) $\sqrt[4]{8} \cdot \sqrt[4]{1250}$

Воспользуемся свойством произведения корней $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[4]{8 \cdot 1250}$

Перемножим числа под корнем:

$8 \cdot 1250 = 10000$

Получаем выражение:

$\sqrt[4]{10000}$

Вычислим корень четвертой степени:

$\sqrt[4]{10000} = 10$, так как $10^4 = 10000$.

Ответ: $10$