Номер 287, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

Вынесите множитель из-под знака корня (287–289):

287. a) $\sqrt[3]{40}$;

б) $\sqrt[5]{-64}$;

в) $\sqrt[5]{-96}$;

г) $\sqrt[3]{54}$.

а) Чтобы вынести множитель из-под знака кубического корня из 40, необходимо разложить подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них был точным кубом.

Разложим число 40 на множители: $40 = 8 \times 5 = 2^3 \times 5$.

Теперь подставим это разложение в исходное выражение:

$\sqrt[3]{40} = \sqrt[3]{8 \times 5}$.

Используя свойство корня $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$, разделим корень на два:

$\sqrt[3]{8 \times 5} = \sqrt[3]{8} \times \sqrt[3]{5}$.

Так как $\sqrt[3]{8} = 2$, выражение упрощается до:

$2 \times \sqrt[3]{5} = 2\sqrt[3]{5}$.

Ответ: $2\sqrt[3]{5}$.

б) Рассмотрим корень пятой степени из -64. Так как степень корня (5) является нечетным числом, знак минус можно вынести из-под знака корня:

$\sqrt[5]{-64} = -\sqrt[5]{64}$.

Теперь нужно разложить число 64 на множители, один из которых является точной пятой степенью.

Разложение числа 64: $64 = 32 \times 2 = 2^5 \times 2$.

Подставим это в выражение:

$-\sqrt[5]{64} = -\sqrt[5]{32 \times 2}$.

Применяем свойство корня из произведения:

$-\sqrt[5]{32 \times 2} = -(\sqrt[5]{32} \times \sqrt[5]{2})$.

Так как $\sqrt[5]{32} = 2$, получаем:

$-(2 \times \sqrt[5]{2}) = -2\sqrt[5]{2}$.

Ответ: $-2\sqrt[5]{2}$.

в) В выражении $\sqrt[5]{-96}$ степень корня нечетная, поэтому, как и в предыдущем примере, выносим минус за знак корня:

$\sqrt[5]{-96} = -\sqrt[5]{96}$.

Разложим подкоренное выражение 96 на множители с целью выделить множитель, являющийся точной пятой степенью.

Разложение числа 96: $96 = 32 \times 3 = 2^5 \times 3$.

Подставим разложение в выражение:

$-\sqrt[5]{96} = -\sqrt[5]{32 \times 3}$.

Используем свойство произведения корней:

$-\sqrt[5]{32 \times 3} = -(\sqrt[5]{32} \times \sqrt[5]{3})$.

Так как $\sqrt[5]{32} = 2$, то:

$-(2 \times \sqrt[5]{3}) = -2\sqrt[5]{3}$.

Ответ: $-2\sqrt[5]{3}$.

г) Для того чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt[3]{54}$, необходимо найти множитель числа 54, который является точным кубом.

Разложим число 54 на множители: $54 = 27 \times 2 = 3^3 \times 2$.

Подставим это разложение под знак корня:

$\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \times 2}$.

Воспользуемся свойством корня из произведения $\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}$:

$\sqrt[3]{27 \times 2} = \sqrt[3]{27} \times \sqrt[3]{2}$.

Поскольку $\sqrt[3]{27} = 3$, получаем итоговый результат:

$3 \times \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}$.

Ответ: $3\sqrt[3]{2}$.