Номер 288, страница 92 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

288. a) $\sqrt[3]{\frac{3}{8}}$;

б) $\sqrt[3]{\frac{27}{4}}$;

в) $\sqrt[3]{-\frac{250}{16}}$;

г) $\sqrt[3]{-\frac{64}{7}}$.

а) Для вычисления значения выражения $\sqrt[3]{\frac{3}{8}}$ воспользуемся свойством корня из дроби: $\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$.

Применяем это свойство к нашему выражению: $\sqrt[3]{\frac{3}{8}} = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{8}}$

Знаменатель $\sqrt[3]{8}$ равен $2$, так как $2^3 = 8$. Числитель $\sqrt[3]{3}$ является иррациональным числом и дальнейшему упрощению не подлежит.

Таким образом, получаем: $\frac{\sqrt[3]{3}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt[3]{3}}{2}$

б) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{\frac{27}{4}}$. Используем свойство корня из дроби: $\sqrt[3]{\frac{27}{4}} = \frac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{4}}$

Вычисляем корень в числителе: $\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$. Получаем выражение: $\frac{3}{\sqrt[3]{4}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, нужно сделать подкоренное выражение в знаменателе полным кубом. Для этого домножим числитель и знаменатель дроби на $\sqrt[3]{2}$: $\frac{3}{\sqrt[3]{4}} = \frac{3 \cdot \sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt[3]{2}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4 \cdot 2}} = \frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}}$

Так как $\sqrt[3]{8} = 2$, получаем конечный результат: $\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$

Ответ: $\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$

в) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{-\frac{250}{16}}$.

Сначала можно вынести знак минус из-под знака кубического корня, так как корень нечетной степени из отрицательного числа равен минус корню из положительного числа: $\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}$. $\sqrt[3]{-\frac{250}{16}} = -\sqrt[3]{\frac{250}{16}}$

Теперь сократим дробь под корнем: $\frac{250}{16} = \frac{125 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{125}{8}$

Подставим упрощенную дробь обратно в выражение: $-\sqrt[3]{\frac{125}{8}}$

Применим свойство корня из дроби: $-\frac{\sqrt[3]{125}}{\sqrt[3]{8}}$

Вычислим корни в числителе и знаменателе: $\sqrt[3]{125} = 5$ (так как $5^3=125$) и $\sqrt[3]{8} = 2$ (так как $2^3=8$).

В результате получаем: $-\frac{5}{2}$

Ответ: $-\frac{5}{2}$

г) Рассмотрим выражение $\sqrt[3]{-\frac{64}{7}}$.

Выносим знак минус из-под знака корня: $\sqrt[3]{-\frac{64}{7}} = -\sqrt[3]{\frac{64}{7}}$

Применяем свойство корня из дроби: $-\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{7}}$

Вычисляем корень в числителе: $\sqrt[3]{64} = 4$, так как $4^3 = 64$. Получаем выражение: $-\frac{4}{\sqrt[3]{7}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на такое число, чтобы подкоренное выражение в знаменателе стало полным кубом. Нам нужно получить $\sqrt[3]{7^3}$, поэтому домножим на $\sqrt[3]{7^2} = \sqrt[3]{49}$: $-\frac{4 \cdot \sqrt[3]{49}}{\sqrt[3]{7} \cdot \sqrt[3]{49}} = -\frac{4\sqrt[3]{49}}{\sqrt[3]{7 \cdot 49}} = -\frac{4\sqrt[3]{49}}{\sqrt[3]{343}}$

Так как $\sqrt[3]{343} = 7$, получаем конечный результат: $-\frac{4\sqrt[3]{49}}{7}$

Ответ: $-\frac{4\sqrt[3]{49}}{7}$