Номер 286, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

286. а) $(\sqrt[3]{-2})^3 + (\sqrt[5]{8})^5$;

б) $\sqrt[5]{-1} - \sqrt[3]{-8}$.

а) $(\sqrt[3]{-2})^3 + (\sqrt[5]{8})^5$
Для решения данного примера воспользуемся определением корня n-й степени. Согласно определению, для любого действительного числа $a$ и натурального числа $n > 1$ (для нечетного $n$ $a$ может быть любым, для четного $n$ $a \ge 0$) выполняется равенство $(\sqrt[n]{a})^n = a$. Это означает, что операция извлечения корня n-й степени и операция возведения в n-ю степень являются взаимообратными.
Применим это свойство к каждому слагаемому в выражении:
1. Для первого слагаемого $(\sqrt[3]{-2})^3$, степень корня равна 3 и показатель степени, в которую возводится корень, также равен 3. Следовательно:
$(\sqrt[3]{-2})^3 = -2$
2. Для второго слагаемого $(\sqrt[5]{8})^5$, степень корня равна 5 и показатель степени также равен 5. Следовательно:
$(\sqrt[5]{8})^5 = 8$
3. Теперь сложим полученные результаты:
$-2 + 8 = 6$
Таким образом, исходное выражение равно 6.
Ответ: 6

б) $\sqrt[5]{-1} - \sqrt[3]{-8}$
Для решения этого примера необходимо вычислить значения каждого корня по отдельности.
1. Вычислим первый член $\sqrt[5]{-1}$. Корень нечетной степени (в данном случае 5) из отрицательного числа существует и является отрицательным числом. Нам нужно найти число, которое при возведении в 5-ю степень даст -1. Таким числом является -1, так как:
$(-1)^5 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1$
Следовательно, $\sqrt[5]{-1} = -1$.
2. Вычислим второй член $\sqrt[3]{-8}$. Здесь также корень нечетной степени (3) из отрицательного числа. Нам нужно найти число, которое при возведении в 3-ю степень (в куб) даст -8. Таким числом является -2, так как:
$(-2)^3 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 4 \cdot (-2) = -8$
Следовательно, $\sqrt[3]{-8} = -2$.
3. Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение и выполним вычитание:
$\sqrt[5]{-1} - \sqrt[3]{-8} = (-1) - (-2) = -1 + 2 = 1$
Ответ: 1