Номер 279, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

279. $ \sqrt[2m+1]{-a} = -\sqrt[2m+1]{a} $, где $m \in N$, $a$ — любое действительное число?

Для ответа на данный вопрос проанализируем равенство $\sqrt[2m+1]{-a} = -\sqrt[2m+1]{a}$ и условия, при которых оно должно выполняться.

Показатель корня равен $2m+1$. По условию, $m \in \mathbb{N}$, то есть $m$ — это натуральное число ($1, 2, 3, \ldots$). Это означает, что $2m$ является четным натуральным числом ($2, 4, 6, \ldots$), а показатель корня $n = 2m+1$ — нечетным натуральным числом ($3, 5, 7, \ldots$).

Для корней нечетной степени существует фундаментальное свойство: для любого действительного числа $x$ и любого нечетного натурального числа $n$ справедливо тождество:$\sqrt[n]{-x} = -\sqrt[n]{x}$

Данное тождество справедливо, поскольку корень нечетной степени определен для всех действительных чисел (как положительных, так и отрицательных, и нуля) и является нечетной функцией. Докажем это тождество формально.

Пусть $y = -\sqrt[n]{x}$. Чтобы доказать, что $y$ равен $\sqrt[n]{-x}$, нам нужно показать, что $y$, возведенный в степень $n$, равен $-x$. Возведем обе части равенства $y = -\sqrt[n]{x}$ в степень $n$:$y^n = (-\sqrt[n]{x})^n$

Так как $n$ — нечетное число, то $(-1)^n = -1$. Поэтому мы можем вынести знак минус из-под знака степени:$y^n = (-1)^n (\sqrt[n]{x})^n = -(\sqrt[n]{x})^n$

По определению корня $n$-ой степени, $(\sqrt[n]{x})^n = x$. Следовательно:$y^n = -x$

Поскольку $y^n = -x$, то по определению корня $y = \sqrt[n]{-x}$.

Таким образом, мы доказали, что $-\sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{-x}$, что равносильно $\sqrt[n]{-x} = -\sqrt[n]{x}$.

Исходное равенство $\sqrt[2m+1]{-a} = -\sqrt[2m+1]{a}$ является частным случаем доказанного тождества, где в качестве нечетного показателя $n$ выступает $2m+1$, а в качестве действительного числа $x$ — число $a$. Так как тождество верно для любого нечетного $n$ и любого действительного $x$, то и исходное равенство верно при всех указанных условиях.

Ответ: да, равенство верно для любого натурального числа $m$ и любого действительного числа $a$.