Номер 277, страница 91 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

277. а) Что называют арифметическим корнем степени $n$ ($n \geq 2$) из числа $a$?

б) Для каких действительных чисел определён арифметический корень степени $n$ ($n \geq 2$) из данного числа?

в) Сколько существует арифметических корней степени $n$ ($n \geq 2$) из данного числа?

г) Верны ли для любого неотрицательного числа $a$ и любого натурального числа $n$ ($n \geq 2$) равенства $\sqrt[n]{a^n} = (\sqrt[n]{a})^n = a$?

д) Если $a^n = b^n$, то всегда ли $a = b$?

а) Арифметическим корнем степени $n$ (где $n$ — натуральное число, $n \ge 2$) из неотрицательного числа $a$ называется такое неотрицательное число $b$, $n$-я степень которого равна $a$. Математически это записывается как $\sqrt[n]{a} = b$, что эквивалентно равенству $b^n = a$ при условиях $a \ge 0$ и $b \ge 0$.
Ответ: Арифметическим корнем степени $n \ge 2$ из неотрицательного числа $a$ называют неотрицательное число, $n$-я степень которого равна $a$.

б) Арифметический корень степени $n$ определён для любого неотрицательного действительного числа. Это означает, что число $a$, из которого извлекается корень (подкоренное выражение), должно удовлетворять условию $a \ge 0$.
Ответ: Для неотрицательных действительных чисел ($a \ge 0$).

в) Для любого неотрицательного числа $a$ существует только один арифметический корень степени $n$. Это связано с тем, что функция $y=x^n$ при $x \ge 0$ и $n \ge 2$ является строго возрастающей. Поэтому для любого значения $a \ge 0$ уравнение $x^n=a$ имеет ровно одно неотрицательное решение.
Ответ: Существует только один арифметический корень.

г) Да, данные равенства верны. Разберем каждое из них при условии, что $a \ge 0$ и $n \ge 2$ — натуральное число.
1. $(\sqrt[n]{a})^n = a$. Это равенство является определением арифметического корня. Если мы обозначим $b = \sqrt[n]{a}$, то по определению $b$ — это такое неотрицательное число, что $b^n=a$. Подставляя $b$ обратно, получаем $(\sqrt[n]{a})^n = a$.
2. $\sqrt[n]{a^n} = a$. По определению, $\sqrt[n]{a^n}$ — это неотрицательное число, при возведении которого в степень $n$ получится $a^n$. Так как по условию $a \ge 0$, то число $a$ само является таким неотрицательным числом, которое удовлетворяет этому условию: $a^n = a^n$.
Поскольку обе части, $\sqrt[n]{a^n}$ и $(\sqrt[n]{a})^n$, равны $a$, то все представленные равенства верны.
Ответ: Да, верны.

д) Нет, не всегда. Это утверждение зависит от четности показателя степени $n$.
• Если $n$ — нечетное число (3, 5, 7, ...), то из равенства $a^n = b^n$ действительно следует, что $a = b$. Например, из $a^3 = b^3$ следует $a=b$.
• Если $n$ — четное число (2, 4, 6, ...), то из $a^n = b^n$ следует, что $|a| = |b|$, то есть $a=b$ или $a=-b$. Например, если $n=2$, то $3^2 = 9$ и $(-3)^2 = 9$. Таким образом, $3^2 = (-3)^2$, но $3 \ne -3$.
Поскольку вопрос стоит "всегда ли", то наличие хотя бы одного контрпримера делает утверждение в общем виде ложным.
Ответ: Нет, не всегда. Это верно только для нечетных $n$. Для четных $n$ из $a^n=b^n$ следует, что $a=\pm b$.