Номер 275, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

275. Вычислите:

а) $5 + \sqrt[4]{1}$;

б) $\sqrt[6]{64} + 3$;

в) $\sqrt[4]{16} - 1$;

г) $8 - \sqrt[6]{8^2}$;

д) $\sqrt[3]{27} - \sqrt[4]{81}$;

е) $\sqrt[6]{4^3} + \sqrt[3]{-125}$;

ж) $\sqrt[4]{16^2}$;

з) $\sqrt[4]{25^2}$;

и) $\sqrt[6]{2 \cdot 32}$;

к) $\sqrt[6]{16 \cdot 256}$.

а) $5 + \sqrt[4]{1}$. Арифметический корень любой натуральной степени из единицы равен единице. Таким образом, $\sqrt[4]{1} = 1$. Выполняем сложение: $5 + 1 = 6$.
Ответ: 6

б) $\sqrt[6]{64} + 3$. Найдем корень шестой степени из 64. Поскольку $2^6 = 64$, то $\sqrt[6]{64} = 2$. Далее выполняем сложение: $2 + 3 = 5$.
Ответ: 5

в) $\sqrt[4]{16} - 1$. Вычислим корень четвертой степени из 16. Поскольку $2^4 = 16$, то $\sqrt[4]{16} = 2$. Далее выполняем вычитание: $2 - 1 = 1$.
Ответ: 1

г) $8 - \sqrt[6]{8^2}$. Упростим выражение, используя свойство корня $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$, которое позволяет сократить показатель корня и показатель степени подкоренного выражения на их общий делитель. В данном случае общий делитель равен 2. $\sqrt[6]{8^2} = \sqrt[3 \cdot 2]{8^{1 \cdot 2}} = \sqrt[3]{8}$. Поскольку $2^3=8$, то $\sqrt[3]{8}=2$. Следовательно, $8 - 2 = 6$.
Ответ: 6

д) $\sqrt[3]{27} - \sqrt[4]{81}$. Вычислим каждый корень по отдельности. $\sqrt[3]{27} = 3$, так как $3^3 = 27$. $\sqrt[4]{81} = 3$, так как $3^4 = 81$. Далее выполняем вычитание: $3 - 3 = 0$.
Ответ: 0

е) $\sqrt[6]{4^3} + \sqrt[3]{-125}$. Упростим первый член, сократив показатель корня и степень подкоренного выражения на 3: $\sqrt[6]{4^3} = \sqrt{4} = 2$. Вычислим второй член: корень нечетной степени из отрицательного числа является отрицательным числом, $\sqrt[3]{-125} = -5$, так как $(-5)^3 = -125$. Выполним сложение: $2 + (-5) = 2 - 5 = -3$.
Ответ: -3

ж) $\sqrt[4]{16^2}$. Упростим выражение, используя свойство $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$. Сократим показатель корня и степень на 2: $\sqrt[4]{16^2} = \sqrt[2 \cdot 2]{16^2} = \sqrt{16} = 4$.
Ответ: 4

з) $\sqrt[4]{25^2}$. Упростим выражение, используя свойство $\sqrt[nk]{a^{mk}} = \sqrt[n]{a^m}$. Сократим показатель корня и степень на 2: $\sqrt[4]{25^2} = \sqrt[2 \cdot 2]{25^2} = \sqrt{25} = 5$.
Ответ: 5

и) $\sqrt[6]{2 \cdot 32}$. Сначала выполним умножение под знаком корня: $2 \cdot 32 = 64$. Получаем выражение $\sqrt[6]{64}$. Поскольку $2^6 = 64$, то $\sqrt[6]{64} = 2$.
Ответ: 2

к) $\sqrt[6]{16 \cdot 256}$. Для упрощения вычисления представим числа под корнем в виде степеней одного основания, например, 2. $16 = 2^4$ и $256 = 2^8$. Тогда выражение под корнем равно $16 \cdot 256 = 2^4 \cdot 2^8 = 2^{4+8} = 2^{12}$. Теперь извлечем корень, используя свойство $\sqrt[n]{a^m} = a^{m/n}$: $\sqrt[6]{2^{12}} = 2^{12/6} = 2^2 = 4$.
Ответ: 4