Номер 276, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

276. Решите уравнение, используя график функции:

а) $x^4 = 1;$

б) $x^4 = -1;$

в) $x^6 = 0;$

г) $x^4 = 81;$

д) $x^4 = 4;$

е) $x^4 = 25;$

ж) $x^6 = 1;$

з) $x^6 = 8.$

Для решения уравнений вида $x^n = c$ графическим методом необходимо построить графики двух функций: $y = x^n$ и $y = c$. Решениями исходного уравнения будут абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих графиков.

Во всех представленных уравнениях показатель степени $n$ является четным числом (4 или 6). График функции $y=x^n$ для четного $n$ представляет собой кривую, симметричную относительно оси ординат (оси OY) и проходящую через начало координат. Все значения такой функции неотрицательны, то есть $x^n \ge 0$ при любом $x$. График функции $y=c$ — это горизонтальная прямая.

а) $x^4 = 1$

Рассмотрим графики функций $y = x^4$ и $y = 1$. График $y = x^4$ — это кривая, симметричная относительно оси OY. График $y = 1$ — это горизонтальная прямая, проходящая на 1 единицу выше оси OX. Эти графики пересекаются в двух точках, так как $1 > 0$. Чтобы найти абсциссы этих точек, подставим известные значения: $1^4 = 1$ и $(-1)^4 = 1$. Следовательно, точки пересечения имеют абсциссы $x=1$ и $x=-1$.

Ответ: $x = \pm 1$.

б) $x^4 = -1$

Рассмотрим графики функций $y = x^4$ и $y = -1$. Область значений функции $y = x^4$ — это $[0, +\infty)$, то есть ее график лежит полностью в верхней полуплоскости и на оси OX. График $y = -1$ — это горизонтальная прямая, лежащая в нижней полуплоскости. Поскольку графики не имеют общих точек, уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: корней нет.

в) $x^6 = 0$

Рассмотрим графики функций $y = x^6$ и $y = 0$. График $y = 0$ — это ось абсцисс (ось OX). График функции $y = x^6$ касается оси OX в одной точке — начале координат $(0, 0)$. Абсцисса этой точки и является решением.

Ответ: $x = 0$.

г) $x^4 = 81$

Рассмотрим графики функций $y = x^4$ и $y = 81$. Горизонтальная прямая $y = 81$ пересекает кривую $y = x^4$ в двух точках, симметричных относительно оси OY. Абсциссы этих точек являются решениями уравнения. Найдем число, четвертая степень которого равна 81: $3^4 = 81$. В силу симметрии графика, $(-3)^4 = 81$ также является верным равенством.

Ответ: $x = \pm 3$.

д) $x^4 = 4$

Рассмотрим графики функций $y = x^4$ и $y = 4$. Горизонтальная прямая $y = 4$ пересекает кривую $y = x^4$ в двух симметричных точках. Абсциссы этих точек равны $\sqrt[4]{4}$ и $-\sqrt[4]{4}$. Упростим значение корня: $\sqrt[4]{4} = \sqrt[4]{2^2} = 2^{2/4} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$.

Ответ: $x = \pm \sqrt{2}$.

е) $x^4 = 25$

Рассмотрим графики функций $y = x^4$ и $y = 25$. Горизонтальная прямая $y = 25$ пересекает кривую $y = x^4$ в двух симметричных точках. Абсциссы этих точек равны $\sqrt[4]{25}$ и $-\sqrt[4]{25}$. Упростим значение корня: $\sqrt[4]{25} = \sqrt[4]{5^2} = 5^{2/4} = 5^{1/2} = \sqrt{5}$.

Ответ: $x = \pm \sqrt{5}$.

ж) $x^6 = 1$

Рассмотрим графики функций $y = x^6$ и $y = 1$. График $y = x^6$ симметричен относительно оси OY. Прямая $y = 1$ пересекает его в двух точках. Так как $1^6 = 1$ и $(-1)^6 = 1$, абсциссы точек пересечения равны $1$ и $-1$.

Ответ: $x = \pm 1$.

з) $x^6 = 8$

Рассмотрим графики функций $y = x^6$ и $y = 8$. Горизонтальная прямая $y = 8$ пересекает кривую $y = x^6$ в двух симметричных точках. Абсциссы этих точек равны $\sqrt[6]{8}$ и $-\sqrt[6]{8}$. Упростим значение корня: $\sqrt[6]{8} = \sqrt[6]{2^3} = 2^{3/6} = 2^{1/2} = \sqrt{2}$.

Ответ: $x = \pm \sqrt{2}$.