Номер 273, страница 87 - гдз по алгебре 9 класс учебник Никольский, Потапов

273. Покажите, используя график функции $y = x^4$, что существуют следующие корни, и укажите их значения с точностью до единиц:

а) $\sqrt[4]{3}$;

б) $-\sqrt[4]{3}$;

в) $\sqrt[4]{2}$;

г) $-\sqrt[4]{2}$;

д) $\sqrt[4]{0}$;

е) $\sqrt[4]{0,5}$;

ж) $-\sqrt[4]{0,5}$.

Для решения задачи воспользуемся графиком функции $y = x^4$. Корень n-ой степени $\sqrt[n]{a}$ по определению является решением уравнения $x^n = a$. В нашем случае, корень вида $\sqrt[4]{a}$ является решением уравнения $x^4 = a$.

Графически, решениями этого уравнения являются абсциссы (координаты $x$) точек пересечения графика функции $y = x^4$ с горизонтальной прямой $y = a$.

Доказательство существования корней:

График функции $y = x^4$ представляет собой параболу, симметричную относительно оси OY, с вершиной в точке (0, 0). Все значения функции неотрицательны, то есть область значений функции — это $y \in [0, +\infty)$.

Уравнение $x^4 = a$ имеет действительные корни тогда и только тогда, когда прямая $y=a$ пересекает график $y=x^4$. Это возможно только при $a \ge 0$.

• Если $a > 0$, прямая $y=a$ пересекает график в двух точках, абсциссы которых равны $\sqrt[4]{a}$ и $-\sqrt[4]{a}$.
• Если $a = 0$, прямая $y=a$ касается графика в одной точке (0, 0), и корень один: $x=0$.

В данной задаче все подкоренные выражения (3; 2; 0; 0,5) неотрицательны. Следовательно, все указанные корни существуют.

Нахождение значений с точностью до единиц:

Чтобы найти значение корня с точностью до целого числа, определим, между какими целыми числами находится корень, а затем выясним, к какому из них он ближе. Для этого рассмотрим значения функции $y = x^4$ при целых значениях $x$:

• $0^4 = 0$
• $1^4 = 1$
• $2^4 = 16$
• $(-1)^4 = 1$
• $(-2)^4 = 16$

а) $\sqrt[4]{3}$
Мы ищем положительное решение уравнения $x^4 = 3$. Из таблицы значений видно, что $1^4 = 1$ и $2^4 = 16$. Так как $1 < 3 < 16$, то $\sqrt[4]{1} < \sqrt[4]{3} < \sqrt[4]{16}$, что означает $1 < \sqrt[4]{3} < 2$. Чтобы определить, к 1 или 2 ближе значение корня, сравним его с серединой отрезка [1, 2], то есть с 1,5. Возведем 1,5 в четвертую степень: $(1.5)^4 = 5.0625$. Поскольку $3 < 5.0625$, то $\sqrt[4]{3} < 1.5$. Следовательно, корень находится в интервале $(1; 1.5)$ и ближе к 1.
Ответ: 1

б) $-\sqrt[4]{3}$
Это отрицательное решение уравнения $x^4=3$. Из пункта а) известно, что $1 < \sqrt[4]{3} < 1.5$. Умножив неравенство на -1, получим $-1.5 < -\sqrt[4]{3} < -1$. Это означает, что корень находится между -1,5 и -1, то есть ближе к -1.
Ответ: -1

в) $\sqrt[4]{2}$
Ищем положительное решение уравнения $x^4 = 2$. Так как $1^4 = 1$ и $2^4 = 16$, то $1 < 2 < 16$, следовательно, $1 < \sqrt[4]{2} < 2$. Сравним с 1,5: $(1.5)^4 = 5.0625$. Поскольку $2 < 5.0625$, то $\sqrt[4]{2} < 1.5$. Корень находится в интервале $(1; 1.5)$ и ближе к 1.
Ответ: 1

г) $-\sqrt[4]{2}$
Это отрицательное решение уравнения $x^4=2$. Из пункта в) известно, что $1 < \sqrt[4]{2} < 1.5$. Значит, $-1.5 < -\sqrt[4]{2} < -1$. Корень ближе к -1.
Ответ: -1

д) $\sqrt[4]{0}$
Ищем решение уравнения $x^4 = 0$. Единственное решение — $x=0$. Это точное значение.
Ответ: 0

е) $\sqrt[4]{0.5}$
Ищем положительное решение уравнения $x^4 = 0.5$. Так как $0^4 = 0$ и $1^4 = 1$, то $0 < 0.5 < 1$, следовательно, $0 < \sqrt[4]{0.5} < 1$. Сравним с серединой отрезка [0, 1], то есть с 0,5. Возведем 0,5 в четвертую степень: $(0.5)^4 = 0.0625$. Поскольку $0.5 > 0.0625$, то $\sqrt[4]{0.5} > 0.5$. Корень находится в интервале $(0.5; 1)$ и ближе к 1.
Ответ: 1

ж) $-\sqrt[4]{0.5}$
Это отрицательное решение уравнения $x^4=0.5$. Из пункта е) известно, что $0.5 < \sqrt[4]{0.5} < 1$. Умножив на -1, получим $-1 < -\sqrt[4]{0.5} < -0.5$. Корень находится между -1 и -0,5, то есть ближе к -1.
Ответ: -1